Metano escapa através de um pequeno orifício ( A=1,0 \times 10^{-6} \mathrm{~m}^{2} ) em um tanque de 10 \mathrm{~m}^{3}. O metano escapa tão lentamente que a temperatura no tanque permanece constante em 23^{\circ} \mathrm{C}.
A taxa de fluxo de massa de metano através do orifício é dada por:
\dot{m}=0,66 \frac{P A}{\sqrt{R T}}
onde \dot{m} é a vazão mássica ( \mathrm{kg} / \mathrm{s} ), P é a pressão no tanque ( Pa ), A é a área do orifício \left(\mathrm{m}^{2}\right), R é a constante dos gases (\mathrm{J} /(\mathrm{kg} \cdot \mathrm{K})) e T é a temperatura no tanque (K). Calcule o tempo necessário para que a pressão absoluta no tanque diminua de 500 kPa para 400 kPa .

Passo 1

O enunciado diz que o metano escapa lentamente, a T=23^\circ\!C (isto é, 296 K) de um tanque de volume V=10\;\mathrm{m^3} por um orifício de área A=1{,}0\times10^{-6}\;\mathrm{m^2}. A vazão mássica é
\dot{m}=0,66\,\frac{P\,A}{\sqrt{R\,T}}
e queremos o tempo para a pressão cair de P_i=500 kPa para P_f=400 kPa. Usaremos a lei dos gases ideais e o balanço de massa.

Passo 2

Pela lei dos gases ideais em regime isoter­mo temos
m=\frac{P\,V}{R\,T}.
Diferenciando em relação ao tempo:
\frac{dm}{dt}=\frac{V}{R\,T}\,\frac{dP}{dt}.
Como o metano sai, \,dm/dt=-\dot m, logo
\frac{V}{R\,T}\,\frac{dP}{dt} =-0.66\,\frac{P\,A}{\sqrt{R\,T}}.
Reorganizando, obtemos uma equação do tipo dP/P=-k\,dt:
\frac{dP}{P}=-\,\frac{0.66\,A\sqrt{R\,T}}{V}\,dt.

Passo 3

Integrando de P_i a P_f e de 0 a t:
\int_{P_i}^{P_f}\frac{dP}{P} =-\frac{0.66\,A\sqrt{R\,T}}{V}\int_{0}^{t}dt \;\;\Longrightarrow\;\; \ln\!\frac{P_f}{P_i} =-\frac{0.66\,A\sqrt{R\,T}}{V}\,t.
Isolando t:
t =\frac{V}{0.66\,A\sqrt{R\,T}}\;\ln\!\frac{P_i}{P_f}.

Passo 4

Adotando R específico do metano \approx519 J/(k g\cdot K) e T=296 K:
\sqrt{R\,T} =\sqrt{519\cdot296}\approx392\;\mathrm{m/s}, \quad \frac{V}{0.66\,A\sqrt{R\,T}} =\frac{10}{0.66\cdot1{,}0\times10^{-6}\cdot392} \approx3{,}87\times10^4\;\mathrm{s}.
Como \ln(500/400)\approx0{,}2231, segue
t\approx3{,}87\times10^4\cdot0{,}2231 \approx8{,}63\times10^3\;\mathrm{s} \approx2{,}4\;\mathrm{h}.

Resposta

O tempo necessário é de aproximadamente 8{,}6\times10^3 s, ou cerca de 2,4 horas.

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