Problema 1

Quando submetido a uma força de 5 KN , um arame deve alongar-se de 3,0 \mathrm{~mm}. Determine o menor diâmetro que pode ser especificado para o arame e seu comprimento necessário, considerando o módulo de elasticidade igual a 100 GPa e a máxima tensão normal admissível igual a 400 MPa .

Passo 1

O problema dá uma barra submetida a uma força axial de 5\text{ kN} e pede que ela alongue \delta=3{,}0\text{ mm}. O material tem módulo de elasticidade E=100\text{ GPa} e a tensão admissível é \sigma_{\text{adm}}=400\text{ MPa}. Precisamos achar (1) o menor diâmetro d que não ultrapasse a tensão admissível e (2) o comprimento L que, com esse diâmetro, gere a deformação \delta.

Passo 2

Para não exceder a tensão admissível usamos
\sigma = \frac{P}{A} \le \sigma_{\text{adm}},
onde P=5\text{ kN} é a força e A a área da seção transversal da barra. Como A=\tfrac{\pi d^2}{4}, temos
A \ge \frac{P}{\sigma_{\text{adm}}}.

Passo 3

Calculando a área mínima e daí o diâmetro:
A_{\min} = \frac{P}{\sigma_{\text{adm}}} = \frac{5000}{400\times10^6} =1{,}25\times10^{-5}\text{ m}^2
d = \sqrt{\frac{4A_{\min}}{\pi}} = \sqrt{\frac{4\cdot1{,}25\times10^{-5}}{\pi}} \approx 4,00\times10^{-3}\text{ m} =4{,}00\text{ mm}.

Passo 4

Para relacionar o alongamento à força e ao comprimento usamos a lei de Hooke para tração uni-axial:
\delta = \frac{P\,L}{A\,E}.

Passo 5

Isolando L e usando A=\tfrac{\pi d^2}{4} com d=4{,}00\text{ mm}:
L = \frac{\delta\,A\,E}{P} = \frac{3{,}0\times10^{-3}\times1{,}2566\times10^{-5}\times100\times10^{9}}{5000} \approx 0{,}75\text{ m}.

Resposta

Diâmetro mínimo: d=4{,}00\text{ mm}
Comprimento necessário: L=0{,}75\text{ m}

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