Um método baseado em absorção atômica, desenvolvido para a determinação de ferro presente em óleo usado de motores a jato, apresentou um desvio padrão \mathrm{s}=2,9 \mathrm{mg} \mathrm{de} \mathrm{Fe} / \mathrm{mL}, a partir de 30 análises realizadas em triplicata. Calcule os intervalos de confiança de 95 \% e 99 \%.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações (vou explicitar uma pequena suposição necessária):
  • Desvio padrão amostral: \;s=2,9\\ \mathrm{mg\\ Fe/mL}.
  • Foram realizadas \;30 análises “realizadas em triplicata”. Vou interpretar isto como sendo n=30 observações independentes (cada “análise” é um valor representativo). Se a interpretação fosse que há 30 análises cada uma com três medidas independentes e que o desvio s foi calculado com base em todas as 90 medidas, deveria usar n=90. Aqui seguirei n=30 (grau de liberdade \nu=n-1=29).
  • Pede-se calcular os intervalos de confiança para o desvio padrão (ou seja, para o parâmetro \sigma) com níveis de confiança 95\% e 99\%.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (aulas práticas rápidas).
  • Quando temos uma amostra de tamanho n de uma população normal (ou assumimos aproximação razoável), a quantidade
\frac{(n-1)S^{2}}{\sigma^{2}}
segue uma distribuição qui-quadrado com \nu=n-1 graus de liberdade. Aqui S^{2} é a variância amostral (isto é, S^{2}=s^{2}).
  • A partir disso pode-se construir um intervalo de confiança bilateral para \sigma^{2}:
\left(\frac{(n-1)s^{2}}{\chi^{2}_{1-\alpha/2,\;\nu}},\;\frac{(n-1)s^{2}}{\chi^{2}_{\alpha/2,\;\nu}}\right),
onde \chi^{2}_{p,\nu} é o quantil da distribuição qui-quadrado com \nu graus de liberdade tal que P(\chi^{2}\le \chi^{2}_{p,\nu})=p.
  • Tomando raiz quadrada dos extremos obtemos o intervalo de confiança para \sigma:
\left(\sqrt{\frac{(n-1)s^{2}}{\chi^{2}_{1-\alpha/2,\;\nu}}},\;\sqrt{\frac{(n-1)s^{2}}{\chi^{2}_{\alpha/2,\;\nu}}}\right).
  • Explicando em palavras: o numerador (n-1)s^{2} é a “escala” da variância amostral e os quantis \chi^{2} ajustam essa escala para dar o intervalo de confiança com a probabilidade desejada.

Passo 3

Preparar os dados e constantes para cálculo:
  • s=2,9, logo s^{2}=2{,}9^{2}=8{,}41.
  • n=30 (supoosição), então \nu=n-1=29.
  • Calculamos o produto (n-1)s^{2}:
(n-1)s^{2}=29\times 8{,}41 = 243{,}89.
(Isto é a variância amostral escalada pelos graus de liberdade.)

Passo 4

Intervalo de confiança de 95\% ( \alpha=0{,}05, \alpha/2=0{,}025).
  • Precisamos dos quantis \chi^{2}_{0{,}975,\;29} e \chi^{2}_{0{,}025,\;29}.
  • Usando valores tabulados (ou aproximação de Wilson–Hilferty), obtém-se:
\chi^{2}_{0{,}975,\;29}\approx 45{,}71,\qquad \chi^{2}_{0{,}025,\;29}\approx 16{,}04.
  • Aplicando a fórmula para variância:
\text{limite inferior para }\sigma^{2}=\frac{243{,}89}{45{,}71}\approx 5{,}335,
\text{limite superior para }\sigma^{2}=\frac{243{,}89}{16{,}04}\approx 15{,}21.
  • Tomando raiz quadrada para obter o intervalo para \sigma:
\sigma_{\text{inf}}=\sqrt{5{,}335}\approx 2{,}31\\ \mathrm{mg\\ Fe/mL},
\sigma_{\text{sup}}=\sqrt{15{,}21}\approx 3{,}90\\ \mathrm{mg\\ Fe/mL}.
  • Portanto o intervalo de confiança de 95\% para o desvio padrão é aproximadamente \left(2{,}31,\;3{,}90\right)\\ \mathrm{mg\\ Fe/mL}.

Passo 5

Intervalo de confiança de 99\% ( \alpha=0{,}01, \alpha/2=0{,}005).
  • Precisamos dos quantis \chi^{2}_{0{,}995,\;29} e \chi^{2}_{0{,}005,\;29}.
  • Usando tabela/aproximação, obtemos:
\chi^{2}_{0{,}995,\;29}\approx 52{,}35,\qquad \chi^{2}_{0{,}005,\;29}\approx 13{,}09.
  • Aplicando a fórmula:
\text{limite inferior para }\sigma^{2}=\frac{243{,}89}{52{,}35}\approx 4{,}66,
\text{limite superior para }\sigma^{2}=\frac{243{,}89}{13{,}09}\approx 18{,}64.
  • Tomando raiz quadrada:
\sigma_{\text{inf}}=\sqrt{4{,}66}\approx 2{,}16\\ \mathrm{mg\\ Fe/mL},
\sigma_{\text{sup}}=\sqrt{18{,}64}\approx 4{,}32\\ \mathrm{mg\\ Fe/mL}.
  • Portanto o intervalo de confiança de 99\% para o desvio padrão é aproximadamente \left(2{,}16,\;4{,}32\right)\\ \mathrm{mg\\ Fe/mL}.

Passo 6

Interpretação curta e incentivo (rápido):
  • O intervalo de 95\% é mais estreito que o de 99\%, porque pedir mais confiança (99%) exige um intervalo maior.
  • Se na prova aparecerem valores de \chi^{2} ligeiramente diferentes em tabelas, os extremos mudarão um pouco; a metodologia é sempre essa: calcular (n-1)s^{2}, dividir pelos quantis adequados e tirar raiz.

Resposta

Intervalo de 95\%: \left(2{,}31,\;3{,}90\right)\\ \mathrm{mg\\ Fe/mL}
Intervalo de 99\%: \left(2{,}16,\;4{,}32\right)\\ \mathrm{mg\\ Fe/mL}

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