Um método baseado em absorção atômica, desenvolvido para a determinação de ferro presente em óleo usado de motores a jato, apresentou um desvio padrão \mathrm{s}=2,9 \mathrm{mg} \mathrm{de} \mathrm{Fe} / \mathrm{mL}, a partir de 30 análises realizadas em triplicata. Calcule os intervalos de confiança de 95 \% e 99 \%.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações (vou explicitar uma pequena suposição necessária):
Foram realizadas \;30 análises “realizadas em triplicata”. Vou interpretar isto como sendo n=30 observações independentes (cada “análise” é um valor representativo). Se a interpretação fosse que há 30 análises cada uma com três medidas independentes e que o desvio s foi calculado com base em todas as 90 medidas, deveria usar n=90. Aqui seguirei n=30 (grau de liberdade \nu=n-1=29).
Pede-se calcular os intervalos de confiança para o desvio padrão (ou seja, para o parâmetro \sigma) com níveis de confiança 95\% e 99\%.
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (aulas práticas rápidas).
Quando temos uma amostra de tamanho n de uma população normal (ou assumimos aproximação razoável), a quantidade
\frac{(n-1)S^{2}}{\sigma^{2}}
segue uma distribuição qui-quadrado com \nu=n-1 graus de liberdade. Aqui S^{2} é a variância amostral (isto é, S^{2}=s^{2}).
A partir disso pode-se construir um intervalo de confiança bilateral para \sigma^{2}:
Explicando em palavras: o numerador (n-1)s^{2} é a “escala” da variância amostral e os quantis \chi^{2} ajustam essa escala para dar o intervalo de confiança com a probabilidade desejada.
Passo 3
Preparar os dados e constantes para cálculo:
s=2,9, logo s^{2}=2{,}9^{2}=8{,}41.
n=30 (supoosição), então \nu=n-1=29.
Calculamos o produto (n-1)s^{2}:
(n-1)s^{2}=29\times 8{,}41 = 243{,}89.
(Isto é a variância amostral escalada pelos graus de liberdade.)
Passo 4
Intervalo de confiança de 95\% (\alpha=0{,}05, \alpha/2=0{,}025).
Precisamos dos quantis \chi^{2}_{0{,}975,\;29} e \chi^{2}_{0{,}025,\;29}.
Usando valores tabulados (ou aproximação de Wilson–Hilferty), obtém-se:
Portanto o intervalo de confiança de 99\% para o desvio padrão é aproximadamente \left(2{,}16,\;4{,}32\right)\\ \mathrm{mg\\ Fe/mL}.
Passo 6
Interpretação curta e incentivo (rápido):
O intervalo de 95\% é mais estreito que o de 99\%, porque pedir mais confiança (99%) exige um intervalo maior.
Se na prova aparecerem valores de \chi^{2} ligeiramente diferentes em tabelas, os extremos mudarão um pouco; a metodologia é sempre essa: calcular (n-1)s^{2}, dividir pelos quantis adequados e tirar raiz.
Resposta
Intervalo de 95\%: \left(2{,}31,\;3{,}90\right)\\ \mathrm{mg\\ Fe/mL}
Intervalo de 99\%: \left(2{,}16,\;4{,}32\right)\\ \mathrm{mg\\ Fe/mL}