Considere os seguintes conjuntos de réplicas de medidas:
A B C D E F
2,7 0,514 70,24 3,5 0,812 70,65
3,0 0,503 70,22 3,1 0,792 70,63
2,6 0,486 70,10 3,1 0,794 70,64
2,8 0,497 69,99 3,3 0,900 70,21
3,2 0,472 69,69 2,5 0,859 70,10
3,5 0,501 70,05 3,2 0,822 69,99
2,5 0,450 69,81 2,6 0,729 69,69
2,7 0,499 70,01 2,8 0,794 70,05
3,1 0,520 70,18 3,3 0,805 70,18
Para cada um dos seis conjuntos de dados da tabela acima, calcule:
variância

Passo 1

O enunciado nos dá seis conjuntos de réplicas de medidas (colunas A, B, C, D, E, F), cada um com 9 observações. Para cada conjunto o que se pede é calcular a variância. As observações são (peguei os números da tabela fornecida):
  • Conjunto A: 2,7,\;3,0,\;2,6,\;2,8,\;3,2,\;3,5,\;2,5,\;2,7,\;3,1.
  • Conjunto B: 0,514,\;0,503,\;0,486,\;0,497,\;0,472,\;0,501,\;0,450,\;0,499,\;0,520.
  • Conjunto C: 70,24,\;70,22,\;70,10,\;69,99,\;69,69,\;70,05,\;69,81,\;70,01,\;70,18.
  • Conjunto D: 3,5,\;3,1,\;3,1,\;3,3,\;2,5,\;3,2,\;2,6,\;2,8,\;3,3.
  • Conjunto E: 0,812,\;0,792,\;0,794,\;0,900,\;0,859,\;0,822,\;0,729,\;0,794,\;0,805.
  • Conjunto F: 70,65,\;70,63,\;70,64,\;70,21,\;70,10,\;69,99,\;69,69,\;70,05,\;70,18.
O objetivo agora é, para cada coluna, calcular a variância das réplicas.

Passo 2

Antes de calcular: explico a fórmula que vou usar (a mais comum para amostras de replicatas é a variância amostral não viesada). Fórmulas e significado das letras:
\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i
a média das observações, onde n é o número de observações e x_i cada observação.
A variância amostral (não viesada) é
s^{2}=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n} (x_i-\bar{x})^{2}.
Aqui:
  • s^{2} é a variância amostral (o que normalmente se usa para estimar a variância de uma população quando se tem réplicas),
  • n é o número de réplicas (aqui n=9 para cada conjunto),
  • x_i são as medidas e \bar{x} é a média das medidas.
Vou aplicar essa definição passo a passo para cada conjunto: primeiro calculo \bar{x}, depois calculo cada (x_i-\bar{x})^{2}, somo e divido por n-1=8. Vai dar tudo certinho — relaxa, eu vou mostrar as contas.

Passo 3

Conjunto A — cálculo da média.
Soma das observações:
2,7+3,0+2,6+2,8+3,2+3,5+2,5+2,7+3,1=26,1.
Número de observações n=9. Então a média é
\bar{x}_A=\frac{26,1}{9}=2,9.

Passo 4

Conjunto A — cálculo da variância amostral.
Calculo as diferenças e quadrados (x_i-\bar{x}_A)^{2}:
\begin{aligned} (2,7-2,9)^{2}&=(-0,2)^{2}=0,04,\\\ (3,0-2,9)^{2}&=(0,1)^{2}=0,01,\\\ (2,6-2,9)^{2}&=(-0,3)^{2}=0,09,\\\ (2,8-2,9)^{2}&=0,01,\\\ (3,2-2,9)^{2}&=0,09,\\\ (3,5-2,9)^{2}&=0,36,\\\ (2,5-2,9)^{2}&=0,16,\\\ (2,7-2,9)^{2}&=0,04,\\\ (3,1-2,9)^{2}&=0,04. \end{aligned}
Soma das carreiras (soma dos quadrados):
\sum (x_i-\bar{x}_A)^{2}=0,84.
Variância amostral:
s^{2}_A=\frac{0,84}{9-1}=\frac{0,84}{8}=0,105.

Passo 5

Conjunto B — cálculo da média.
Soma das observações (peguei os números da tabela):
0,514+0,503+0,486+0,497+0,472+0,501+0,450+0,499+0,520=4,442.
Média:
\bar{x}_B=\frac{4,442}{9}\approx0,493556.

Passo 6

Conjunto B — cálculo da variância amostral.
Diferenças e quadrados (apenas os valores finais mostrados):
\begin{aligned} (0,514-\bar{x}_B)^{2}&\approx0,0004180,\\\ (0,503-\bar{x}_B)^{2}&\approx0,0000892,\\\ (0,486-\bar{x}_B)^{2}&\approx0,0000571,\\\ (0,497-\bar{x}_B)^{2}&\approx0,0000119,\\\ (0,472-\bar{x}_B)^{2}&\approx0,0004646,\\\ (0,501-\bar{x}_B)^{2}&\approx0,0000554,\\\ (0,450-\bar{x}_B)^{2}&\approx0,0018960,\\\ (0,499-\bar{x}_B)^{2}&\approx0,0000296,\\\ (0,520-\bar{x}_B)^{2}&\approx0,0006994. \end{aligned}
Soma dos quadrados aproximada:
\sum (x_i-\bar{x}_B)^{2}\approx0,0037213.
Variância amostral:
s^{2}_B=\frac{0,0037213}{8}\approx0,000465.

Passo 7

Conjunto C — cálculo da média.
Soma das observações (peguei da tabela):
70,24+70,22+70,10+69,99+69,69+70,05+69,81+70,01+70,18=630,29.
Média:
\bar{x}_C=\frac{630,29}{9}\approx70,032222.

Passo 8

Conjunto C — cálculo da variância amostral.
Quadrados das diferenças (valores aproximados):
\begin{aligned} (70,24-\bar{x}_C)^{2}&\approx0,043171,\\\ (70,22-\bar{x}_C)^{2}&\approx0,035263,\\\ (70,10-\bar{x}_C)^{2}&\approx0,004596,\\\ (69,99-\bar{x}_C)^{2}&\approx0,001783,\\\ (69,69-\bar{x}_C)^{2}&\approx0,117116,\\\ (70,05-\bar{x}_C)^{2}&\approx0,000316,\\\ (69,81-\bar{x}_C)^{2}&\approx0,049383,\\\ (70,01-\bar{x}_C)^{2}&\approx0,000494,\\\ (70,18-\bar{x}_C)^{2}&\approx0,021838. \end{aligned}
Soma dos quadrados:
\sum (x_i-\bar{x}_C)^{2}\approx0,273960.
Variância amostral:
s^{2}_C=\frac{0,273960}{8}\approx0,034245.

Passo 9

Conjunto D — cálculo da média.
Soma das observações:
3,5+3,1+3,1+3,3+2,5+3,2+2,6+2,8+3,3=27,4.
Média:
\bar{x}_D=\frac{27,4}{9}\approx3,044444.

Passo 10

Conjunto D — cálculo da variância amostral.
Quadrados das diferenças (aproximados):
\begin{aligned} (3,5-\bar{x}_D)^{2}&\approx0,207533,\\\ (3,1-\bar{x}_D)^{2}&\approx0,003086,\\\ (3,1-\bar{x}_D)^{2}&\approx0,003086,\\\ (3,3-\bar{x}_D)^{2}&\approx0,065325,\\\ (2,5-\bar{x}_D)^{2}&\approx0,296422,\\\ (3,2-\bar{x}_D)^{2}&\approx0,024201,\\\ (2,6-\bar{x}_D)^{2}&\approx0,197531,\\\ (2,8-\bar{x}_D)^{2}&\approx0,059748,\\\ (3,3-\bar{x}_D)^{2}&\approx0,065325. \end{aligned}
Soma dos quadrados:
\sum (x_i-\bar{x}_D)^{2}\approx0,922258.
Variância amostral:
s^{2}_D=\frac{0,922258}{8}\approx0,115282.

Passo 11

Conjunto E — cálculo da média.
Soma das observações:
0,812+0,792+0,794+0,900+0,859+0,822+0,729+0,794+0,805=7,307.
Média:
\bar{x}_E=\frac{7,307}{9}\approx0,811889.

Passo 12

Conjunto E — cálculo da variância amostral.
Quadrados das diferenças (aproximados):
\begin{aligned} (0,812-\bar{x}_E)^{2}&\approx0,00000001,\\\ (0,792-\bar{x}_E)^{2}&\approx0,0003956,\\\ (0,794-\bar{x}_E)^{2}&\approx0,0003200,\\\ (0,900-\bar{x}_E)^{2}&\approx0,007763,\\\ (0,859-\bar{x}_E)^{2}&\approx0,002220,\\\ (0,822-\bar{x}_E)^{2}&\approx0,000102,\\\ (0,729-\bar{x}_E)^{2}&\approx0,006873,\\\ (0,794-\bar{x}_E)^{2}&\approx0,0003200,\\\ (0,805-\bar{x}_E)^{2}&\approx0,0000475. \end{aligned}
Soma dos quadrados:
\sum (x_i-\bar{x}_E)^{2}\approx0,0180411.
Variância amostral:
s^{2}_E=\frac{0,0180411}{8}\approx0,002255.

Passo 13

Conjunto F — cálculo da média.
Soma das observações (peguei da tabela):
70,65+70,63+70,64+70,21+70,10+69,99+69,69+70,05+70,18=632,14.
Média:
\bar{x}_F=\frac{632,14}{9}\approx70,237778.

Passo 14

Conjunto F — cálculo da variância amostral.
Quadrados das diferenças (aproximados):
\begin{aligned} (70,65-\bar{x}_F)^{2}&\approx0,169913,\\\ (70,63-\bar{x}_F)^{2}&\approx0,153839,\\\ (70,64-\bar{x}_F)^{2}&\approx0,161784,\\\ (70,21-\bar{x}_F)^{2}&\approx0,000772,\\\ (70,10-\bar{x}_F)^{2}&\approx0,018984,\\\ (69,99-\bar{x}_F)^{2}&\approx0,061393,\\\ (69,69-\bar{x}_F)^{2}&\approx0,300056,\\\ (70,05-\bar{x}_F)^{2}&\approx0,035267,\\\ (70,18-\bar{x}_F)^{2}&\approx0,003339. \end{aligned}
Soma dos quadrados:
\sum (x_i-\bar{x}_F)^{2}\approx0,905347.
Variância amostral:
s^{2}_F=\frac{0,905347}{8}\approx0,113168.

Resposta

s^{2}_A=0,105
s^{2}_B\approx0,000465
s^{2}_C\approx0,034245
s^{2}_D\approx0,115282
s^{2}_E\approx0,002255
s^{2}_F\approx0,113168

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