Neste exercício, responda se cada afirmação é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta.
Um objeto em movimento circular não pode ter o módulo da velocidade variável.

Passo 1

Enunciado: “Um objeto em movimento circular não pode ter o módulo da velocidade variável.”
Pergunta: determinar se essa afirmação é verdadeira ou falsa e justificar.
Informações dadas/implícitas: o enunciado fala de um objeto descrevendo uma trajetória circular de raio constante (vou chamar esse raio de R). Não há restrição adicional sobre como o objeto se move ao redor do círculo (pode acelerar ou desacelerar).

Passo 2

Primeiro vamos lembrar a diferença entre velocidade e módulo da velocidade (que também chamamos de “velocidade escalar” ou simplesmente “velocidade” no sentido cotidiano).
  • A velocidade vetorial \mathbf{v}(t) indica direção e sentido do movimento e depende da derivada do vetor posição.
  • O módulo da velocidade é |\mathbf{v}(t)|: é um número não negativo que mede quão rápido o objeto se move, independentemente da direção.
    Explicação didática: mesmo que a direção do movimento esteja sempre mudando (como ocorre num círculo), o módulo pode ser constante (o carro faz a volta com velocidade constante) ou variar (o carro acelera/desacelera enquanto contorna a curva).

Passo 3

Vamos escrever matematicamente a posição de um ponto que se move num círculo de raio R centrado na origem. Uma parametrização padrão é
\mathbf{r}(t) = R\bigl(\cos\theta(t),\\ \sin\theta(t)\bigr),
onde \theta(t) é o ângulo polar do ponto no instante t. Aqui: R>0 é constante e \theta(t) é uma função do tempo que pode variar arbitrariamente (contínua e diferenciável o suficiente para nosso cálculo).

Passo 4

Vamos obter a velocidade vetorial como derivada temporal de \mathbf{r}(t). Usando regra da cadeia:
\mathbf{v}(t)=\frac{d\mathbf{r}}{dt}=R\bigl(-\sin\theta(t)\,,\\ \cos\theta(t)\bigr)\,\theta'(t).
Detalhe do cálculo (passo a passo): derivamos \cos\theta(t) obtendo -\sin\theta(t)\cdot\theta'(t) e \sin\theta(t) obtendo \cos\theta(t)\cdot\theta'(t). Fatorando \theta'(t) e R chegamos à expressão acima.

Passo 5

Agora calculamos o módulo da velocidade. Usamos a norma do vetor:
|\mathbf{v}(t)| = \sqrt{\bigl(R\theta'(t)\bigr)^2\bigl((-\sin\theta(t))^2+(\cos\theta(t))^2\bigr)}.
Como (-\sin\theta)^2+(\cos\theta)^2=1, isso simplifica para
|\mathbf{v}(t)| = R\bigl|\theta'(t)\bigr|.
Interpretação: o módulo da velocidade depende diretamente da taxa de variação do ângulo, \theta'(t) (que é a velocidade angular). Se \theta'(t) for constante em t, então |\mathbf{v}(t)| é constante (movimento circular uniforme). Se \theta'(t) variar com t, então |\mathbf{v}(t)| varia — ou seja, é perfeitamente possível ter módulo da velocidade variável.

Passo 6

Exemplo concreto e numérico para fixar a ideia (faça isso na prova se precisar de um contraexemplo): escolha
\theta(t)=a\,t^2\quad\text{com}\quad a\neq 0.
Então \theta'(t)=2a t e, pelo resultado anterior,
|\mathbf{v}(t)|=R\bigl|2a t\bigr| = 2R|a|\,|t|.
Isso é claramente uma função do tempo t (não constante). Por exemplo, com R=1 e a=\tfrac{1}{2} temos |\mathbf{v}(t)|=|t|, que cresce com o tempo para t>0. Esse é um contracaso explícito que mostra que a afirmação do enunciado não é verdadeira.

Passo 7

Comentário físico adicional (útil para a prova): quando o módulo da velocidade varia, o acelerador tangencial não é nulo. A aceleração total se decompõe em componente radial (centrípeta) e componente tangencial:
\mathbf{a} = a_{\text{t}}\\ \hat{t} \;-\; \frac{|\mathbf{v}|^2}{R}\\ \hat{r},
onde a_{\text{t}}=\dfrac{d}{dt}|\mathbf{v}(t)| (a taxa de variação do módulo da velocidade) e \hat{t},\hat{r} são os versores tangencial e radial. Logo, presença de componente tangencial diferente de zero altera |\mathbf{v}|.

Passo 8

Conclusão lógica: a afirmação “Um objeto em movimento circular não pode ter o módulo da velocidade variável” é falsa. Há muitos exemplos (matemáticos e físicos) de movimento circular com velocidade escalar variável; o caso de velocidade escalar constante é apenas um caso particular (movimento circular uniforme), quando \theta'(t) é constante.

Resposta

Falso.

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