Considere um projétil lançado a partir do solo com velocidade inicial v_{0} e ângulo de inclinação \theta. O objetivo é atingir um alvo que se encontra a uma distância x_{A} e altura y_{A}. Mostre que existem dois ângulos de elevação diferentes \theta_{1} e \theta_{2}, para os quais atingimos o alvo, desde que o ponto ( x_{A}, y_{A} ) esteja abaixo da chamada “parábola de segurança”, definida como
y_{A} \leq \frac{R}{2}\left(1-\frac{x_{A}^{2}}{R^{2}}\right),

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma conclusão clara.
  • Dado: um projétil é lançado do solo com velocidade inicial v_{0} e ângulo de elevação \theta.
  • Dado: queremos atingir um alvo que está nas coordenadas (x_{A},y_{A}).
  • Dado: a chamada “parábola de segurança” é a curva
y = \frac{R}{2}\left(1-\frac{x^{2}}{R^{2}}\right),
onde R será uma quantidade a relacionarmos com v_{0} e g.
  • Pedido: mostrar que existem dois ângulos de elevação diferentes \theta_{1} e \theta_{2} que atingem o alvo, desde que o ponto (x_{A},y_{A}) satisfaça a desigualdade
y_{A} \leq \frac{R}{2}\left(1-\frac{x_{A}^{2}}{R^{2}}\right).
Lista das quantidades relevantes que o enunciado dá, para usar depois:
  • v_{0} (velocidade inicial, conhecida);
  • \theta (ângulo de lançamento, variável que queremos determinar);
  • x_{A} e y_{A} (coordenadas do alvo, dadas);
  • g (aceleração da gravidade, constante conhecida).
Neste passo eu só identifiquei o que foi dado e o que se pede. A resolução começa no próximo passo.

Passo 2

Escrevendo as equações do movimento do projétil (movimento com gravidade, sem resistência do ar).
  • Explicação física e fórmulas: num lançamento oblíquo, as componentes da velocidade inicial são v_{0x}=v_{0}\cos\theta e v_{0y}=v_{0}\sin\theta. A posição em função do tempo t é dada por:
x(t)=v_{0}\cos\theta\; t,
y(t)=v_{0}\sin\theta\; t - \frac{1}{2}g t^{2}.
Aqui x(t) e y(t) são as coordenadas horizontais e verticais do projétil no tempo t; g é a aceleração da gravidade (positiva), e subtraímos \tfrac12 g t^2 porque a gravidade reduz a altura.
  • Objetivo dessa etapa: eliminar o tempo t para obter a equação da trajetória y como função de x e do ângulo \theta. Isso nos permitirá impor que, para algum \theta, a trajetória passe por (x_{A},y_{A}).

Passo 3

Eliminação do tempo t.
  • Da primeira equação isolamos t:
t=\frac{x}{v_{0}\cos\theta}.
  • Substituímos em y(t):
y = v_{0}\sin\theta\left(\frac{x}{v_{0}\cos\theta}\right) - \frac{1}{2}g\left(\frac{x}{v_{0}\cos\theta}\right)^{2}.
  • Simplificando (explico cada termo): v_{0}\sin\theta\cdot \dfrac{x}{v_{0}\cos\theta} = x\tan\theta. Para o segundo termo, note que \dfrac{1}{\cos^{2}\theta}=1+\tan^{2}\theta. Assim obtemos a forma conhecida da trajetória:
y = x\tan\theta - \frac{g x^{2}}{2 v_{0}^{2}}\left(1+\tan^{2}\theta\right).
Aqui expliquei que usei a identidade trigonométrica \operatorname{sec}^{2}\theta = 1 + \tan^{2}\theta para escrever 1/\cos^{2}\theta.

Passo 4

Substituir o ponto alvo (x_{A},y_{A}) na equação da trajetória e reorganizar como uma equação em \tan\theta.
  • Colocando x=x_{A} e y=y_{A}, e definindo T=\tan\theta (isso facilita a álgebra), temos:
y_{A} = x_{A}T - \frac{g x_{A}^{2}}{2 v_{0}^{2}}\left(1+T^{2}\right).
  • Agora reorganizamos tudo para obter uma equação quadrática em T. Colocando todos os termos no mesmo lado:
\frac{g x_{A}^{2}}{2 v_{0}^{2}}\,T^{2} - x_{A}T + \left(\frac{g x_{A}^{2}}{2 v_{0}^{2}} + y_{A}\right) = 0.
  • Para simplificar a escrita, defina
A := \frac{g x_{A}^{2}}{2 v_{0}^{2}}.
Então a equação fica
A T^{2} - x_{A} T + (A + y_{A}) = 0.
Aqui A é apenas uma constante positiva (desde que x_{A}\neq 0) que aglomera fatores constantes; T é \tan\theta. A ideia é: para cada raiz real T dessa quadrática corresponde um ângulo \theta=\arctan T que faz a trajetória passar por (x_{A},y_{A}).

Passo 5

Condição de existência de duas soluções distintas para \tan\theta (e, portanto, para \theta) — uso do discriminante da quadrática.
  • Teoria necessária (explicada): uma equação quadrática aT^{2}+bT+c=0 tem duas raízes reais distintas se, e somente se, o discriminante \Delta := b^{2}-4ac for estritamente positivo. Se \Delta=0 tem uma raiz real dupla; se \Delta<0 não tem raízes reais.
  • Aplicando isso à nossa equação A T^{2} - x_{A}T + (A+y_{A})=0: aqui a=A, b=-x_{A}, c=A+y_{A}. Então o discriminante é
\Delta = (-x_{A})^{2} - 4\cdot A\cdot(A+y_{A}) = x_{A}^{2} - 4A^{2} - 4A y_{A}.
  • Substituímos A=\dfrac{g x_{A}^{2}}{2 v_{0}^{2}} para simplificar \Delta. Primeiro calculemos 4A^{2} e 4A y_{A}:
4A^{2} = 4\left(\frac{g x_{A}^{2}}{2 v_{0}^{2}}\right)^{2} = \frac{g^{2} x_{A}^{4}}{v_{0}^{4}},
4A y_{A} = 4\cdot\frac{g x_{A}^{2}}{2 v_{0}^{2}}\cdot y_{A} = \frac{2g x_{A}^{2} y_{A}}{v_{0}^{2}}.
  • Portanto
\Delta = x_{A}^{2} - \frac{g^{2} x_{A}^{4}}{v_{0}^{4}} - \frac{2g x_{A}^{2} y_{A}}{v_{0}^{2}}.
  • Fatorando x_{A}^{2} (assumindo x_{A}\neq 0, caso x_{A}=0 é fácil tratar separadamente), obtemos
\Delta = x_{A}^{2}\left(1 - \frac{g^{2} x_{A}^{2}}{v_{0}^{4}} - \frac{2g y_{A}}{v_{0}^{2}}\right).
Como x_{A}^{2}>0, a condição \Delta\ge 0 equivale à condição no parêntese:
1 - \frac{g^{2} x_{A}^{2}}{v_{0}^{4}} - \frac{2g y_{A}}{v_{0}^{2}} \ge 0.

Passo 6

Manipular a desigualdade do discriminante para obter a forma da “parábola de segurança” e interpretar o resultado.
  • Multiplicamos a desigualdade por v_{0}^{4} (número positivo) para eliminar denominadores:
v_{0}^{4} - g^{2} x_{A}^{2} - 2g y_{A} v_{0}^{2} \ge 0.
  • Agora agrupamos os termos envolvendo v_{0}^{2}. Observe que podemos escrever
v_{0}^{4} - 2g y_{A} v_{0}^{2} - g^{2} x_{A}^{2} \ge 0.
Pense nisso como uma expressão quadrática em v_{0}^{2}, mas o que queremos é isolar y_{A} em função de x_{A} e dos parâmetros. Reorganize para isolar y_{A}:
-2g y_{A} v_{0}^{2} \ge g^{2} x_{A}^{2} - v_{0}^{4}.
Dividindo por -2g v_{0}^{2} (negativo multiplicador troca a desigualdade; mas prefiro reescrever de forma direta dando o passo óbvio):
y_{A} \le \frac{v_{0}^{4} - g^{2} x_{A}^{2}}{2 g v_{0}^{2}}.
  • Agora simplificamos essa expressão dividindo numerador e denominador por g v_{0}^{2}. Uma forma mais elegante é introduzir a constante
R := \frac{v_{0}^{2}}{g}.
Explico: R é justamente a distância máxima horizontal (alcance máximo) que um projétil com velocidade v_{0} pode percorrer ao lançar-se em ângulo 45^\circ; aparece natural aqui. Substituindo v_{0}^{2}=gR na expressão acima:
y_{A} \le \frac{(gR)^{2} - g^{2} x_{A}^{2}}{2 g (gR)} = \frac{g^{2}(R^{2}-x_{A}^{2})}{2 g^{2} R} = \frac{R^{2}-x_{A}^{2}}{2R}.
  • Finalmente escrevemos na forma propositalmente idêntica à do enunciado:
y_{A} \le \frac{R}{2}\left(1-\frac{x_{A}^{2}}{R^{2}}\right).
Isto mostra que a condição \Delta\ge 0 é equivalente à afirmação de que o ponto (x_{A},y_{A}) está em ou abaixo da parábola de segurança. Pelo critério do discriminante, quando essa desigualdade é estrita ( <), a quadrática tem duas raízes distintas para T=\tan\theta, ou seja, existem duas inclinações diferentes \theta_{1} e \theta_{2} que fazem a trajetória passar por (x_{A},y_{A}). Se a desigualdade for igualdade, as duas raízes coincidem (um único ângulo, trajetória tangente à parábola de segurança); se a desigualdade for falsa, não existem ângulos reais que atinjam o alvo.

Passo 7

Resumo final da interpretação física e matemática (rápido incentivo).
  • Conclusão matemática: a existência de duas soluções distintas para o ângulo de lançamento \theta é exatamente a condição \Delta>0, que se traduz na desigualdade
y_{A} < \frac{R}{2}\left(1-\frac{x_{A}^{2}}{R^{2}}\right),
enquanto o caso limite \Delta=0 dá igualdade na parábola (uma solução única). Portanto, se o ponto (x_{A},y_{A}) estiver abaixo ou sobre a parábola de segurança dada, o alvo é atingível; se estiver estritamente abaixo, há duas elevações possíveis.
  • Observação útil (curiosidade prática): para y_{A}=0 (alvo no solo) as duas elevações são complementares (somam 90^\circ), o que vem da propriedade \tan\theta_{1}\tan\theta_{2}=1 nesse caso. Mas isto é apenas um caso particular; para altura arbitrária a soma não precisa ser 90^\circ.

Resposta

Existem dois ângulos distintos \theta_{1} e \theta_{2} que atingem o alvo se, e somente se,
y_{A} \leq \frac{R}{2}\left(1-\frac{x_{A}^{2}}{R^{2}}\right),
onde R=\dfrac{v_{0}^{2}}{g}. Se a desigualdade for estrita há duas soluções distintas; se for igualdade há uma solução única (raiz dupla).

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