Considere um projétil lançado a partir do solo com velocidade inicial
e ângulo de inclinação
. O objetivo é atingir um alvo que se encontra a uma distância
e altura
. Mostre que existem dois ângulos de elevação diferentes
e
, para os quais atingimos o alvo, desde que o ponto (
) esteja abaixo da chamada “parábola de segurança”, definida como
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma conclusão clara.
- Dado: um projétil é lançado do solo com velocidade inicial
e ângulo de elevação . - Dado: queremos atingir um alvo que está nas coordenadas
. - Dado: a chamada “parábola de segurança” é a curva
onde
será uma quantidade a relacionarmos com
e
.
- Pedido: mostrar que existem dois ângulos de elevação diferentes
e que atingem o alvo, desde que o ponto satisfaça a desigualdade
Lista das quantidades relevantes que o enunciado dá, para usar depois:
-
(velocidade inicial, conhecida); -
(ângulo de lançamento, variável que queremos determinar); -
e (coordenadas do alvo, dadas); -
(aceleração da gravidade, constante conhecida).
Neste passo eu só identifiquei o que foi dado e o que se pede. A resolução começa no próximo passo.
Passo 2
Escrevendo as equações do movimento do projétil (movimento com gravidade, sem resistência do ar).
- Explicação física e fórmulas: num lançamento oblíquo, as componentes da velocidade inicial são
e . A posição em função do tempo é dada por:
Aqui
e
são as coordenadas horizontais e verticais do projétil no tempo
;
é a aceleração da gravidade (positiva), e subtraímos
porque a gravidade reduz a altura.
- Objetivo dessa etapa: eliminar o tempo
para obter a equação da trajetória como função de e do ângulo . Isso nos permitirá impor que, para algum , a trajetória passe por .
Passo 3
Eliminação do tempo
.
- Da primeira equação isolamos
:
- Substituímos em
:
- Simplificando (explico cada termo):
. Para o segundo termo, note que . Assim obtemos a forma conhecida da trajetória:
Aqui expliquei que usei a identidade trigonométrica
para escrever
.
Passo 4
Substituir o ponto alvo
na equação da trajetória e reorganizar como uma equação em
.
- Colocando
e , e definindo (isso facilita a álgebra), temos:
- Agora reorganizamos tudo para obter uma equação quadrática em
. Colocando todos os termos no mesmo lado:
- Para simplificar a escrita, defina
Então a equação fica
Aqui
é apenas uma constante positiva (desde que
) que aglomera fatores constantes;
é
. A ideia é: para cada raiz real
dessa quadrática corresponde um ângulo
que faz a trajetória passar por
.
Passo 5
Condição de existência de duas soluções distintas para
(e, portanto, para
) — uso do discriminante da quadrática.
- Teoria necessária (explicada): uma equação quadrática
tem duas raízes reais distintas se, e somente se, o discriminante for estritamente positivo. Se tem uma raiz real dupla; se não tem raízes reais. - Aplicando isso à nossa equação
: aqui , , . Então o discriminante é
- Substituímos
para simplificar . Primeiro calculemos e :
- Portanto
- Fatorando
(assumindo , caso é fácil tratar separadamente), obtemos
Como
, a condição
equivale à condição no parêntese:
Passo 6
Manipular a desigualdade do discriminante para obter a forma da “parábola de segurança” e interpretar o resultado.
- Multiplicamos a desigualdade por
(número positivo) para eliminar denominadores:
- Agora agrupamos os termos envolvendo
. Observe que podemos escrever
Pense nisso como uma expressão quadrática em
, mas o que queremos é isolar
em função de
e dos parâmetros. Reorganize para isolar
:
Dividindo por
(negativo multiplicador troca a desigualdade; mas prefiro reescrever de forma direta dando o passo óbvio):
- Agora simplificamos essa expressão dividindo numerador e denominador por
. Uma forma mais elegante é introduzir a constante
Explico:
é justamente a distância máxima horizontal (alcance máximo) que um projétil com velocidade
pode percorrer ao lançar-se em ângulo
; aparece natural aqui. Substituindo
na expressão acima:
- Finalmente escrevemos na forma propositalmente idêntica à do enunciado:
Isto mostra que a condição
é equivalente à afirmação de que o ponto
está em ou abaixo da parábola de segurança. Pelo critério do discriminante, quando essa desigualdade é estrita (
), a quadrática tem duas raízes distintas para
, ou seja, existem duas inclinações diferentes
e
que fazem a trajetória passar por
. Se a desigualdade for igualdade, as duas raízes coincidem (um único ângulo, trajetória tangente à parábola de segurança); se a desigualdade for falsa, não existem ângulos reais que atinjam o alvo.
Passo 7
Resumo final da interpretação física e matemática (rápido incentivo).
- Conclusão matemática: a existência de duas soluções distintas para o ângulo de lançamento
é exatamente a condição , que se traduz na desigualdade
enquanto o caso limite
dá igualdade na parábola (uma solução única). Portanto, se o ponto
estiver abaixo ou sobre a parábola de segurança dada, o alvo é atingível; se estiver estritamente abaixo, há duas elevações possíveis.
- Observação útil (curiosidade prática): para
(alvo no solo) as duas elevações são complementares (somam ), o que vem da propriedade nesse caso. Mas isto é apenas um caso particular; para altura arbitrária a soma não precisa ser .
Resposta
Existem dois ângulos distintos
e
que atingem o alvo se, e somente se,
onde
. Se a desigualdade for estrita há duas soluções distintas; se for igualdade há uma solução única (raiz dupla).