Aplicações do conceito de integral O cálculo integral pode ser usado para encontrar a área entre duas curvas, tomando a diferença entre as integrais das duas funções correspondentes no intervalo dado. Considere as funções f(x)=x^{\wedge} 2 e g(x) =x. Qual é a área entre as duas curvas no intervalo [0,1] ?

0

a.
1/2.
C
b.
1/3.
C
C.
2/3.
C
d.
1/4 .
e.
1 / 6.

Passo 1

O enunciado pede a área entre as curvas \displaystyle f(x)=x^{2} e \displaystyle g(x)=x no intervalo [0,1].
Conteúdo: aplicação de integrais para área entre duas curvas. Para resolver, vamos identificar qual função é maior em [0,1] e depois integrar a diferença entre elas.

Passo 2

Em [0,1], temos
g(x)-f(x)=x - x^{2}=x(1-x)\ge 0,
pois x\ge0 e 1-x\ge0. Logo, g(x) está acima de f(x) no intervalo.

Passo 3

A área A é dada por
A = \int_{0}^{1}\bigl[g(x)-f(x)\bigr]\,dx = \int_{0}^{1}\bigl(x - x^{2}\bigr)\,dx.
O antiderivado de x - x^{2} é
\frac{x^{2}}{2} \;-\;\frac{x^{3}}{3}.

Passo 4

Avaliando de 0 a 1:
A = \left[\frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1} = \Bigl(\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{3}\Bigr) - 0 = \frac{1}{2}-\frac{1}{3} = \frac{1}{6}.

Resposta

\displaystyle \tfrac{1}{6} (alternativa e)

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