Encontre a solução do problema de valor inicial dado em forma explícita.
Desenhe o gráfico da solução.
Determine (pelo menos aproximadamente) o intervalo no qual a solução está definida.
Desenhe o gráfico da solução.
Determine (pelo menos aproximadamente) o intervalo no qual a solução está definida.
Passo 1
O enunciado pede três coisas:
- Encontrar a solução explícita da equação diferencial com condição inicial.
- Desenhar (descrever) o gráfico dessa solução.
- Determinar, ao menos aproximadamente, o intervalo onde a solução está definida.
Informações dadas:
- A equação diferencial é
. - A condição inicial é
.
Passo 2
Escolha do método: a equação é separável porque a derivada
pode ser escrita como produto de uma função de
por uma função de
. Nessa situação o método padrão é separar as variáveis
e
em lados opostos e integrar. Vou usar separação de variáveis porque é o método mais direto e elementar aqui.
Passo 3
Separe as variáveis. Escrevemos
e colocamos os termos em
de um lado e em
do outro:
Explicação didática: dividir por
isola a dependência de
na esquerda; multiplicar por
coloca
no lado direito. Agora ambas as integrais podem ser calculadas.
Passo 4
Integre ambos os lados. À esquerda temos a integral de
em relação a
; à direita, a integral de
em relação a
:
Calcule as integrais passo a passo:
- Para a esquerda,
. (Regra: para ; aqui .) - Para a direita,
. (Integre termo a termo: , .)
Juntando e absorvendo constantes em uma só constante
:
Passo 5
Use a condição inicial para determinar
. Substitua
e
:
Portanto
. Assim a relação implícita é
Passo 6
Resolva explicitamente para
. Multiplicando por
obtemos
. Agrupando termos em uma expressão padrão:
Invertendo,
Verificação rápida com a condição inicial:
, bate certinho.
Passo 7
Determinar o intervalo de definição (máximo intervalo contendo
): a solução explícita é racional com denominador
. A solução só está definida onde
. Encontre as raízes do denominador:
As raízes são
e
. Portanto há assíntotas verticais (pontos de explosão) em
e
. A condição inicial
está no intervalo entre essas raízes, assim o maior intervalo de existência que contém
é
Observação teórica rápida: a equação original tem o lado direito contínuo e suave para todos
, então soluções locais existem e são únicas; a única limitação ao prolongamento global aqui é o blow-up quando
tende a infinito, que corresponde às zeros do denominador que encontramos.
Passo 8
Análise do comportamento e forma do gráfico (elementos importantes para desenhar):
- Fatores do denominador:
. - Sinal de
no intervalo : testando dá então em todo o intervalo (o denominador não muda de sinal dentro do intervalo porque só zera nas extremidades). - Assíntotas verticais:
e . Ao aproximar-se de cada uma delas pelo interior , (pequeno negativo) e portanto . - Comportamento em infinito: fora desses intervalos, quando
, e . Mas isto interessa menos para o ramo que contém , onde a assíntota horizontal não aparece dentro , apenas nos prolongamentos. - Derivada e monotonicidade: usando a forma explícita,
O denominador ao quadrado é sempre positivo (exceto nas raízes). Assim o sinal de é o contrário do sinal de : - Para
temos então : cresce em . - Para
temos então : decresce em .
Logoé um máximo local (no sentido de valor mais alto, lembrando que os valores são negativos: é o menos negativo).
- Para
- Valor do máximo local: calcule
Em decimal isso é . Para referência , então o máximo local é um pouco maior (menos negativo) que o valor inicial.
Passo 9
Descrição final para desenhar o gráfico (passo a passo para rabiscar no papel sem calculadora):
- Trace as assíntotas verticais
e como linhas tracejadas. - No ponto
coloque o ponto . - Haverá um pico (máximo local) em
com valor . - À medida que
e , a curva desce para . - A curva é estritamente crescente de
até e estritamente decrescente de até . - Não há intercepto com o eixo
dentro de porque nunca é zero (uma fração com numerador 1 nunca é zero).
Resposta
Gráfico: curva com assíntotas verticais em
Intervalo de definição (máximo, contendo