Encontre a solução do problema de valor inicial dado em forma explícita.
Desenhe o gráfico da solução.
Determine (pelo menos aproximadamente) o intervalo no qual a solução está definida.
y^{\prime}=(1-2 x) y^{2}, y(0)=-1 / 6

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
  • Encontrar a solução explícita da equação diferencial com condição inicial.
  • Desenhar (descrever) o gráfico dessa solução.
  • Determinar, ao menos aproximadamente, o intervalo onde a solução está definida.
Informações dadas:
  • A equação diferencial é y'=(1-2x)y^{2}.
  • A condição inicial é y(0)=-\dfrac{1}{6}.

Passo 2

Escolha do método: a equação é separável porque a derivada y' pode ser escrita como produto de uma função de x por uma função de y. Nessa situação o método padrão é separar as variáveis y e x em lados opostos e integrar. Vou usar separação de variáveis porque é o método mais direto e elementar aqui.

Passo 3

Separe as variáveis. Escrevemos y'=\dfrac{dy}{dx} e colocamos os termos em y de um lado e em x do outro:
\frac{dy}{dx}=(1-2x)y^{2}\quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{y^{2}}=(1-2x)\,dx.
Explicação didática: dividir por y^{2} isola a dependência de y na esquerda; multiplicar por dx coloca dx no lado direito. Agora ambas as integrais podem ser calculadas.

Passo 4

Integre ambos os lados. À esquerda temos a integral de y^{-2} em relação a y; à direita, a integral de 1-2x em relação a x:
\int \frac{dy}{y^{2}} = \int (1-2x)\,dx.
Calcule as integrais passo a passo:
  • Para a esquerda, \int y^{-2}\,dy = \int y^{-2}\,dy = -\,\frac{1}{y} + C_{1}. (Regra: \int y^{n}\,dy = \dfrac{y^{n+1}}{n+1} para n\neq -1; aqui n=-2.)
  • Para a direita, \int (1-2x)\,dx = x - x^{2} + C_{2}. (Integre termo a termo: \int 1\,dx = x, \int -2x\,dx = -x^{2}.)
Juntando e absorvendo constantes em uma só constante C:
-\,\frac{1}{y} = x - x^{2} + C.

Passo 5

Use a condição inicial para determinar C. Substitua x=0 e y(0)=-\dfrac{1}{6}:
-\,\frac{1}{-\tfrac{1}{6}} = 0 - 0 + C \quad\Longrightarrow\quad 6 = C.
Portanto C=6. Assim a relação implícita é
-\,\frac{1}{y} = x - x^{2} + 6.

Passo 6

Resolva explicitamente para y. Multiplicando por -1 obtemos \dfrac{1}{y} = -x + x^{2} -6. Agrupando termos em uma expressão padrão:
\frac{1}{y} = x^{2} - x - 6.
Invertendo,
y(x) = \frac{1}{x^{2} - x - 6}.
Verificação rápida com a condição inicial: y(0)=\dfrac{1}{0-0-6}=\dfrac{1}{-6}=-\dfrac{1}{6}, bate certinho.

Passo 7

Determinar o intervalo de definição (máximo intervalo contendo 0): a solução explícita é racional com denominador D(x)=x^{2}-x-6. A solução só está definida onde D(x)\neq 0. Encontre as raízes do denominador:
x^{2}-x-6=0\quad\Rightarrow\quad x=\frac{1\pm\sqrt{1+24}}{2}=\frac{1\pm5}{2}.
As raízes são x=-2 e x=3. Portanto há assíntotas verticais (pontos de explosão) em x=-2 e x=3. A condição inicial x=0 está no intervalo entre essas raízes, assim o maior intervalo de existência que contém 0 é
(-2,\,3).
Observação teórica rápida: a equação original tem o lado direito contínuo e suave para todos x,y, então soluções locais existem e são únicas; a única limitação ao prolongamento global aqui é o blow-up quando y tende a infinito, que corresponde às zeros do denominador que encontramos.

Passo 8

Análise do comportamento e forma do gráfico (elementos importantes para desenhar):
  • Fatores do denominador: x^{2}-x-6=(x-3)(x+2).
  • Sinal de y no intervalo (-2,3): testando x=0 D(0)=-6<0 então y<0 em todo o intervalo (-2,3) (o denominador não muda de sinal dentro do intervalo porque só zera nas extremidades).
  • Assíntotas verticais: x=-2 e x=3. Ao aproximar-se de cada uma delas pelo interior (-2,3), D(x)\to 0^{-} (pequeno negativo) e portanto y(x)\to -\infty.
  • Comportamento em infinito: fora desses intervalos, quando |x|\to\infty, x^{2}-x-6\to +\infty e y(x)\to 0^{+}. Mas isto interessa menos para o ramo que contém x=0, onde a assíntota horizontal não aparece dentro (-2,3), apenas nos prolongamentos.
  • Derivada e monotonicidade: usando a forma explícita, y'(x)= -\frac{2x-1}{(x^{2}-x-6)^{2}}.O denominador ao quadrado é sempre positivo (exceto nas raízes). Assim o sinal de y' é o contrário do sinal de 2x-1:
    • Para x<\tfrac{1}{2} temos 2x-1<0 então y'(x)>0: y cresce em (-2,\tfrac{1}{2}).
    • Para x>\tfrac{1}{2} temos 2x-1>0 então y'(x)<0: y decresce em (\tfrac{1}{2},3).
      Logo x=\tfrac{1}{2} é um máximo local (no sentido de valor mais alto, lembrando que os valores são negativos: é o menos negativo).
  • Valor do máximo local: calcule y\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=\frac{1}{\left(\tfrac{1}{2}\right)^{2}-\tfrac{1}{2}-6}=\frac{1}{\tfrac{1}{4}-\tfrac{1}{2}-6}=\frac{1}{-\tfrac{25}{4}}=-\frac{4}{25}.Em decimal isso é -0,16. Para referência y(0)=-\tfrac{1}{6}\approx -0,1667, então o máximo local é um pouco maior (menos negativo) que o valor inicial.

Passo 9

Descrição final para desenhar o gráfico (passo a passo para rabiscar no papel sem calculadora):
  • Trace as assíntotas verticais x=-2 e x=3 como linhas tracejadas.
  • No ponto x=0 coloque o ponto (0,\,-\tfrac{1}{6}).
  • Haverá um pico (máximo local) em x=\tfrac{1}{2} com valor y=-\tfrac{4}{25}.
  • À medida que x\to -2^{+} e x\to 3^{-}, a curva desce para -\infty.
  • A curva é estritamente crescente de -2 até \tfrac{1}{2} e estritamente decrescente de \tfrac{1}{2} até 3.
  • Não há intercepto com o eixo x dentro de (-2,3) porque y(x) nunca é zero (uma fração com numerador 1 nunca é zero).

Resposta

y(x)=\dfrac{1}{x^{2}-x-6}
Gráfico: curva com assíntotas verticais em x=-2 e x=3, valor y(0)=-\tfrac{1}{6}, máximo local em x=\tfrac{1}{2} com y=-\tfrac{4}{25}; a solução é negativa em (-2,3), cresce em (-2,\tfrac{1}{2}) e decresce em (\tfrac{1}{2},3), tendendo a -\infty ao aproximar-se das assíntotas.
Intervalo de definição (máximo, contendo 0): (-2,\,3).

Exercícios relacionados