Considere o problema de valor inicial
y^{\prime}=\frac{t y(4-y)}{1+t}, y(0)=y_{0}>0
a. Determine o comportamento da solução quando t \rightarrow \infty.
b. Se y_{0}=2, encontre o instante T no qual a solução atinge, pela primeira vez, o valor 3,99 .
c. Encontre o intervalo de valores iniciais para os quais a solução fica no intervalo 3,99<y<4,01 no instante t=2.

Passo 1

O problema dá a equação diferencial com condição inicial
y'=\frac{t\,y(4-y)}{1+t},\qquad y(0)=y_{0}>0.
O enunciado pede três coisas:
  • (a) determinar o comportamento da solução quando t\to\infty;
  • (b) no caso y_{0}=2, encontrar o instante T em que a solução atinge, pela primeira vez, y=3{,}99;
  • (c) encontrar o conjunto de valores iniciais y_{0} tais que, no instante t=2, a solução satisfaça 3{,}99<y(2)<4{,}01.
Informações relevantes que extraí do enunciado:
  • A função do lado direito é contínua para t\ge 0 (exceto que 1+t\neq0, mas em t\ge0 isso não é problema).
  • Pontos de equilíbrio possíveis (valores de y em que y'=0 para t>0): são as raízes de y(4-y)=0, isto é y=0 e y=4.
  • Irei obter a solução explícita por separação de variáveis e usar essa solução para responder (a),(b) e (c).

Passo 2

Vou resolver a EDO por separação de variáveis e obter a solução explícita. Primeiro separo y e t:
\frac{dy}{y(4-y)}=\frac{t}{1+t}\,dt.
Agora integro ambos os lados. Para integrar a esquerda faço frações parciais:
\frac{1}{y(4-y)}=\frac{A}{y}+\frac{B}{4-y}.
Resolvo para A,B. Tem-se A(4-y)+By=1 para todo y, portanto
4A=1,\qquad B-A=0 \quad\Rightarrow\quad A=\frac{1}{4},\; B=\frac{1}{4}.
Logo
\frac{1}{y(4-y)}=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{4-y}\right).
Integro a esquerda:
\int \frac{dy}{y(4-y)}=\frac{1}{4}\int\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{4-y}\right)dy =\frac{1}{4}\big(\ln|y|-\ln|4-y|\big) =\frac{1}{4}\ln\!\left|\frac{y}{4-y}\right|.
Na direita, escrevo \dfrac{t}{1+t}=1-\dfrac{1}{1+t} e integro:
\int \frac{t}{1+t}\,dt=\int\left(1-\frac{1}{1+t}\right)dt =t-\ln(1+t)+C.
Igualando as integrais obtemos
\frac{1}{4}\ln\!\left|\frac{y}{4-y}\right|=t-\ln(1+t)+C.
Multiplicando por 4 e exponenciando, \displaystyle \frac{y}{4-y}=K\frac{e^{4t}}{(1+t)^{4}}, onde K=e^{4C} é a constante determinada por y(0)=y_{0}. Aplicando t=0:
\frac{y_{0}}{4-y_{0}}=K\cdot\frac{e^{0}}{1^{4}}=K.
Portanto K=\dfrac{y_{0}}{4-y_{0}} e a solução explícita é
\frac{y(t)}{4-y(t)}=\frac{y_{0}}{4-y_{0}}\cdot\frac{e^{4t}}{(1+t)^{4}}.
Isolando y(t) numa forma mais prática:
y(t)=\frac{4}{1+\displaystyle\frac{4-y_{0}}{y_{0}}\,(1+t)^{4}e^{-4t}}.
(É útil observar a constante A=\dfrac{4-y_{0}}{y_{0}}, então y(t)=\dfrac{4}{1+A(1+t)^{4}e^{-4t}}.)

Passo 3

Com a solução explícita em mãos, analiso o comportamento quando t\to\infty.
O fator que diferencia a fração é (1+t)^{4}e^{-4t}. Para t\to\infty a exponencial domina o polinômio, logo
\lim_{t\to\infty}(1+t)^{4}e^{-4t}=0.
Assim o denominador da expressão de y(t) tende a 1 e
\lim_{t\to\infty}y(t)=\frac{4}{1+0}=4.
Interpretação qualitativa (útil na prova): para t\ge0 temos \dfrac{t}{1+t}\ge0. Então o sinal de y' é o sinal de y(4-y):
  • Se 0<y<4 então y'>0 e a solução cresce em t.
  • Se y>4 então y'<0 e a solução decresce.
  • Se y=4 (ou y=0) a solução é constante.
Portanto, para qualquer y_{0}>0, a solução tende para 4 quando t\to\infty; se 0<y_{0}<4 ela sobe monotonamente para 4, se y_{0}>4 desce monotonamente para 4.

Passo 4

Agora a letra (b): caso y_{0}=2 queremos o instante T em que y(T)=3{,}99 (primeira vez). Com y_{0}=2 temos K=\dfrac{y_{0}}{4-y_{0}}=\dfrac{2}{2}=1. A relação direta para y(t) fica
\frac{y(t)}{4-y(t)}=\frac{e^{4t}}{(1+t)^{4}}.
Colocando y(T)=3{,}99 obtemos
\frac{3{,}99}{4-3{,}99}=\frac{e^{4T}}{(1+T)^{4}}.
O lado esquerdo é \dfrac{3{,}99}{0{,}01}=399. Tomando logaritmo natural:
\ln 399=4T-4\ln(1+T).
Defino a função
f(T)=4T-4\ln(1+T)-\ln 399,
e procuro f(T)=0. Numérico: \ln 399\approx 5{,}988962 (aproximação razoavelmente precisa). Então a equação é
4T-4\ln(1+T)\approx 5{,}988962.
Faço um método numérico rápido (método de Newton) com iterações demonstrativas.
Começo com T_{0}=3. Calculo
f(3)=12-4\ln 4-\ln 399\approx 12-4(1{,}386294)-5{,}988962\approx 0{,}465862.
A derivada é f'(T)=4-\dfrac{4}{1+T}=\dfrac{4T}{1+T}. Em T_{0}=3 vale f'(3)=3. Aplicando Newton:
T_{1}=T_{0}-\frac{f(T_{0})}{f'(T_{0})}=3-\frac{0{,}465862}{3}\approx 2{,}844713.
Recalculo f em T_{1} (com uma aproximação de \ln(1+T_{1})):
\ln(1+T_{1})=\ln(3{,}844713)\approx 1{,}346699,
portanto
f(T_{1})\approx 4(2{,}844713)-4(1{,}346699)-5{,}988962\approx 0{,}00309.
A derivada em T_{1} é f'(T_{1})\approx \dfrac{4\cdot2{,}844713}{3{,}844713}\approx 2{,}959. Nova iteração:
T_{2}=2{,}844713-\frac{0{,}00309}{2{,}959}\approx 2{,}843667.
Reavaliando f(T_{2}) obtém-se um resíduo muito próximo de zero (ordem 10^{-5}), então a raiz está bem aproximada por
T\approx 2{,}8437.
Observação qualitativa: como y(t) é crescente (para y_{0}=2 com 0<y_{0}<4), essa é a primeira vez que atinge 3{,}99.

Passo 5

Letra (c): quero o conjunto de y_{0} tais que 3{,}99<y(2)<4{,}01.
Uso a relação geral que liga y(2) e y_{0}. Da fórmula
\frac{y(2)}{4-y(2)}=\frac{y_{0}}{4-y_{0}}\cdot\frac{e^{8}}{3^{4}},
(pois e^{4t}/(1+t)^{4} com t=2 é e^{8}/3^{4}=e^{8}/81). Denoto
R(y):=\frac{y}{4-y}\quad\text{(para um dado \(y\))},
então
R\big(y(2)\big)=R(y_{0})\cdot\frac{e^{8}}{81}.
Isolando R(y_{0}):
R(y_{0})=R\big(y(2)\big)\cdot\frac{81}{e^{8}}.
E voltando a y_{0} a partir de R: se R(y_{0})=R então
y_{0}=\frac{4R}{1+R}.
Portanto, para cada valor alvo y(2) (por exemplo 3{,}99 ou 4{,}01) calcule R(y(2)), multiplique por \dfrac{81}{e^{8}} e recupere y_{0}. Faço isso para as duas fronteiras:
  1. Para y(2)=3{,}99 tem-se
R(3{,}99)=\frac{3{,}99}{4-3{,}99}=\frac{3{,}99}{0{,}01}=399.
Logo
R(y_{0})=399\cdot\frac{81}{e^{8}}=32319\,e^{-8}\approx 10{,}841817.
Então
y_{0}=\frac{4\cdot 10{,}841817}{1+10{,}841817}\approx 3{,}66200.
  1. Para y(2)=4{,}01 tem-se
R(4{,}01)=\frac{4{,}01}{4-4{,}01}=\frac{4{,}01}{-0{,}01}=-401.
Logo
R(y_{0})=-401\cdot\frac{81}{e^{8}}=-32481\,e^{-8}\approx -10{,}896162.
E
y_{0}=\frac{4\cdot(-10{,}896162)}{1-10{,}896162}=\frac{-43{,}584648}{-9{,}896162}\approx 4{,}40440.
Como a condição desejada é 3{,}99<y(2)<4{,}01, os y_{0} correspondentes ficam entre os valores calculados (estritamente, porque as desigualdades são estritas). Assim o intervalo procurado é aproximadamente
\big(3{,}66200,\;4{,}40440\big).

Resposta

\displaystyle \lim_{t\to\infty}y(t)=4.
\displaystyle T\approx 2{,}8437.
\displaystyle y_{0}\in\big(3{,}66200,\;4{,}40440\big).

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