Método de Euler. O método de Euler é uma maneira de se estimar o valor de uma solução de um PVI em um determinado instante de tempo. Se
é uma solução da EDO
então, pela fórmula de Taylor, pode-se dizer que, se
é pequeno,
Suponha que
. Fixado um step pequeno
, sejam
. Aplicando a aproximação acima sucessivamente, pode-se escrever que, aproximadamente:
Seja
a solução da EDO
tal que
. Utilizando um step
no método de Euler, estime o valor de
. Dica: Ele corresponde a
no esquema acima.
Suponha que
Passo 1
O enunciado pede para estimar, via método de Euler com passo Δt=0,5, a solução da EDO x′=x(x−1) sujeita a x(0)=0,3 até t=2. Isso significa calcular x₀,…,x₄ onde x₀=0,3 e tₙ=0+0,5·n, de modo que x₄≈x(2).
Passo 2
O método de Euler usa a fórmula de iteração
em que f(t,x)=x(x−1). Vamos aplicá-la para n=0,1,2,3.
Passo 3
Para n=0 temos t₀=0 e x₀=0,3. Calculamos
Então
Passo 4
Para n=1 temos t₁=0,5 e x₁≈0,195. Calculamos
Então
Passo 5
Para n=2 temos t₂=1,0 e x₂≈0,1165125. Calculamos
Então
Passo 6
Para n=3 temos t₃=1,5 e x₃≈0,0650685. Calculamos
Então