Método de Euler. O método de Euler é uma maneira de se estimar o valor de uma solução de um PVI em um determinado instante de tempo. Se x(t) é uma solução da EDO
x^prime f(t, x)
então, pela fórmula de Taylor, pode-se dizer que, se De é pequeno, x(t+De
Suponha que x(t0)=x0. Fixado um step pequeno De, sejam tn=t0+n De x(tn)=xn. Aplicando a aproximação acima sucessivamente, pode-se escrever que, aproximadamente:
x1 approx x0+f(t0, x0) De
Seja x(t) a solução da EDO x^1=x(x-1) tal que x(0)=0,3. Utilizando um step De no método de Euler, estime o valor de x(2). Dica: Ele corresponde a x4 no esquema acima.

Passo 1

O enunciado pede para estimar, via método de Euler com passo Δt=0,5, a solução da EDO x′=x(x−1) sujeita a x(0)=0,3 até t=2. Isso significa calcular x₀,…,x₄ onde x₀=0,3 e tₙ=0+0,5·n, de modo que x₄≈x(2).

Passo 2

O método de Euler usa a fórmula de iteração
xn+1=xn+f(tn,xn),Δt
em que f(t,x)=x(x−1). Vamos aplicá-la para n=0,1,2,3.

Passo 3

Para n=0 temos t₀=0 e x₀=0,3. Calculamos
f(t₀,x₀)=x₀(x₀−1)=0,3(0,3−1)=0,3(−0,7)=−0,21
Então
x₁=x₀+f(t₀,x₀)·0,5=0,3+(−0,21)·0,5=0,195

Passo 4

Para n=1 temos t₁=0,5 e x₁≈0,195. Calculamos
f(t₁,x₁)=x₁(x₁−1)=0,195(−0,805)≈−0,156975
Então
x₂=x₁+f(t₁,x₁)·0,5≈0,195+(−0,156975)·0,5≈0,1165125

Passo 5

Para n=2 temos t₂=1,0 e x₂≈0,1165125. Calculamos
f(t₂,x₂)=x₂(x₂−1)=0,1165125(−0,8834875)≈−0,102888
Então
x₃=x₂+f(t₂,x₂)·0,5≈0,1165125+(−0,102888)·0,5≈0,0650685

Passo 6

Para n=3 temos t₃=1,5 e x₃≈0,0650685. Calculamos
f(t₃,x₃)=x₃(x₃−1)=0,0650685(−0,9349315)≈−0,060921
Então
x₄=x₃+f(t₃,x₃)·0,5≈0,0650685+(−0,060921)·0,5≈0,034608

Resposta

x(2)approx0,0346

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