© A série sumk=1^infty (-1)^k 2^k+23^k+2
( ) diverge
( ) converge para 19
( ) converge para -145
( ) converge para 115
( ) converge para 745

Passo 1

O enunciado pede para estudar a série infinita
sumk=1^infty (-1)^k2^k + 23^k+2
O conteúdo principal é a soma de séries geométricas. Vamos usar a fórmula da soma de uma série geométrica sumk=0^infty ar^k = a1-r (válida se |r|<1).

Passo 2

Primeiro separamos a soma em duas séries mais simples:
sumk=1^infty (-1)^k2^k + 23^k+2 = sumk=1^infty (-1)^k2^k3^k+2 + sumk=1^infty 23^k+2

Passo 3

Para a primeira soma note que ela é geométrica com termo geral
a = (-1)^12^13^3 = -227, r = -23 (|r|<1)
Aplicando a fórmula sumk=0^infty ar^k = a1-r, mas nosso índice começa em k=1, então já usamos diretamente o primeiro termo a. Assim:
sumk=1^infty (-1)^k2^k3^k+2 = -2/271 - (-2/3) = -2/275/3 = -245

Passo 4

Para a segunda soma temos:
sumk=1^infty 23^k+2 = 2 sumk=1^infty 13^k+2 = 2 sumn=3^infty 13^n
Essa é geométrica com primeiro termo 1/3^3=1/27 e razão 1/3. Logo:
2 cdot 1/271 - 1/3 = 2 cdot 1/272/3 = 2 cdot 354 = 19

Passo 5

Somando os resultados parciais:
-245 + 19 = -245 + 545 = 345 = 115
Portanto a série converge para tfrac115.

Resposta

Converge para 115

Exercícios relacionados