Resolva o PVI abaixo:
Passo 1
O problema é um valor inicial (PVI) dado por
com
. O conteúdo é de equações diferenciais de primeira ordem separáveis; vamos separar variáveis e integrar.
Passo 2
Reescrevendo a equação temos
. Ao separar variáveis, obtemos:
[\frac{dy}{y^2} = -\sin t, dt]
[\frac{dy}{y^2} = -\sin t, dt]
Passo 3
Agora integramos ambos os lados:
[\int \frac{dy}{y^2} = \int -\sin t, dt]
O resultado das integrais é:
[ -\frac{1}{y} = \cos t + C ].
Multiplicando por e definindo
, temos:
[ \frac{1}{y} = -\cos t + C’ ]
Logo, a solução geral é:
[ y(t) = \frac{1}{C’ - \cos t} ]
[\int \frac{dy}{y^2} = \int -\sin t, dt]
O resultado das integrais é:
[ -\frac{1}{y} = \cos t + C ].
Multiplicando por
[ \frac{1}{y} = -\cos t + C’ ]
Logo, a solução geral é:
[ y(t) = \frac{1}{C’ - \cos t} ]
Passo 4
Para determinar
, usamos
e
:
[ \frac{1}{3} = \frac{1}{C’ - 1} ]
Isso dá , ou seja,
.
Portanto, a solução particular fica:
[ y(t) = \frac{1}{4 - \cos t} ]
[ \frac{1}{3} = \frac{1}{C’ - 1} ]
Isso dá
Portanto, a solução particular fica:
[ y(t) = \frac{1}{4 - \cos t} ]