Resolva o PVI abaixo:
y^prime+y^2 sin t=0, y(0)=12+1

Passo 1

O problema é um valor inicial (PVI) dado por y' + y^2 sin t = 0 com y(0) = tfrac12+1 = tfrac13. O conteúdo é de equações diferenciais de primeira ordem separáveis; vamos separar variáveis e integrar.

Passo 2

Reescrevendo a equação temos dydt = -y^2sin t. Ao separar variáveis, obtemos:
[\frac{dy}{y^2} = -\sin t, dt]

Passo 3

Agora integramos ambos os lados:
[\int \frac{dy}{y^2} = \int -\sin t, dt]
O resultado das integrais é:
[ -\frac{1}{y} = \cos t + C ].
Multiplicando por -1 e definindo C' = -C, temos:
[ \frac{1}{y} = -\cos t + C’ ]
Logo, a solução geral é:
[ y(t) = \frac{1}{C’ - \cos t} ]

Passo 4

Para determinar C', usamos y(0)=tfrac13 e cos0=1:
[ \frac{1}{3} = \frac{1}{C’ - 1} ]
Isso dá C' - 1 = 3, ou seja, C' = 4.
Portanto, a solução particular fica:
[ y(t) = \frac{1}{4 - \cos t} ]

Resposta

y(t) = 14 - cos t

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