Determine a Transformada de Laplace das seguintes funções:
f(t)=\left\{\begin{array}{rll}t, & \text { se } & 0 \leq t<1 \\\\ 2-t, & \text { se } & 0 \leq t<2 \\\\ 0, & \text { se } & 2 \leq t<\infty\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado define a função por partes
f(t)= \begin{cases} t, & 0 \le t < 1,\\\\ 2 - t, & 1 \le t < 2,\\\\ 0, & t \ge 2, \end{cases}
e pede sua Transformada de Laplace
\mathcal{L}\{f\}(s)=\int_{0}^{\infty}f(t)e^{-st}\,dt.
Como f(t)=0 para t\ge2, basta integrar de 0 a 2 dividindo nos dois ramos.

Passo 2

Escrevemos
\mathcal{L}\{f\}(s) =\int_{0}^{1}t\,e^{-st}\,dt +\int_{1}^{2}(2-t)\,e^{-st}\,dt.

Passo 3

Para a primeira integral usamos integração por partes com \displaystyle u=t, \displaystyle dv=e^{-st}dt.
Então
\int_{0}^{1}t\,e^{-st}dt =\Bigl[-\frac{t\,e^{-st}}{s}\Bigr]_{0}^{1} +\frac{1}{s}\int_{0}^{1}e^{-st}dt = \Bigl(-\frac{e^{-s}}{s}\Bigr) +\frac{1}{s}\Bigl[-\frac{e^{-st}}{s}\Bigr]_{0}^{1} = \frac{1}{s^{2}}-\frac{e^{-s}(s+1)}{s^{2}}.

Passo 4

Para a segunda integral separamos
\int_{1}^{2}(2-t)e^{-st}dt =2\int_{1}^{2}e^{-st}dt -\int_{1}^{2}t\,e^{-st}dt.
Calcula-se
2\int_{1}^{2}e^{-st}dt =\frac{2}{s}\bigl(e^{-s}-e^{-2s}\bigr),
e novamente por partes \displaystyle \int_{1}^{2}t\,e^{-st}dt =\Bigl[-\frac{t\,e^{-st}}{s}\Bigr]_{1}^{2} +\frac{1}{s}\int_{1}^{2}e^{-st}dt =\frac{-(2e^{-2s}-e^{-s})}{s} +\frac{1}{s}\frac{e^{-s}-e^{-2s}}{s} =\frac{(s-1)e^{-s}+e^{-2s}}{s^{2}}.
Portanto
\int_{1}^{2}(2-t)e^{-st}dt =\frac{2\bigl(e^{-s}-e^{-2s}\bigr)}{s} -\frac{(s-1)e^{-s}+e^{-2s}}{s^{2}} =\frac{(s-1)e^{-s}+e^{-2s}}{s^{2}}.

Passo 5

Somando os dois resultados
\mathcal{L}\{f\}(s) =\Bigl[\frac{1}{s^{2}}-\frac{(s+1)e^{-s}}{s^{2}}\Bigr] +\Bigl[\frac{(s-1)e^{-s}+e^{-2s}}{s^{2}}\Bigr] =\frac{1-2e^{-s}+e^{-2s}}{s^{2}} =\frac{\bigl(1-e^{-s}\bigr)^{2}}{s^{2}}.

Resposta

\mathcal{L}\{f\}(s) =\frac{\bigl(1-e^{-s}\bigr)^{2}}{s^{2}}.

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