Sejam X_{1} e X_{2} va’s independentes tais que E\left(X_{1}\right)=E\left(X_{2}\right)=\mu, \operatorname{Var}\left(X_{1}\right)=\sigma_{1}^{2} e \operatorname{Var}\left(X_{2}\right)=\sigma_{2}^{2}. Considere uma amostra de tamanho n=2 sendo uma observação da va X_{1} e a outra de X_{2}.
Sendo \hat{\mu}=w_{1} X_{1}+w_{2} X_{2} um estimador para \mu, determine:
a) Qual a condição sobre w_{1} e w_{2} para que \hat{\mu} não seja viesado?
b) Sob a condição acima, determine os valores de w_{1} e w_{2} para que a variância de \hat{\mu} seja mínima.

Passo 1

O enunciado considera duas variáveis aleatórias independentes X_{1} e X_{2} com
E(X_{1})=E(X_{2})=\mu,\quad \operatorname{Var}(X_{1})=\sigma_{1}^{2},\quad \operatorname{Var}(X_{2})=\sigma_{2}^{2},
e propõe o estimador linear
\hat{\mu}=w_{1}X_{1}+w_{2}X_{2}
para \mu. Vamos primeiro impor a condição de não viés (parte a) e depois escolher os pesos para minimizar a variância (parte b).

Passo 2

Para que \hat{\mu} seja não viesado, requeremos
E(\hat{\mu})=E(w_{1}X_{1}+w_{2}X_{2})=w_{1}E(X_{1})+w_{2}E(X_{2})=(w_{1}+w_{2})\mu
deva ser igual a \mu. Logo a condição é
w_{1}+w_{2}=1.

Passo 3

Sob w_{1}+w_{2}=1, escrevemos w_{2}=1-w_{1} e calculamos a variância de \hat{\mu}:
\operatorname{Var}(\hat{\mu}) = w_{1}^{2}\sigma_{1}^{2}+w_{2}^{2}\sigma_{2}^{2} = w_{1}^{2}\sigma_{1}^{2} + (1-w_{1})^{2}\sigma_{2}^{2}.
Para encontrar o mínimo, derivamos em relação a w_{1} e igualamos a zero:
\frac{d}{dw_{1}}\bigl(w_{1}^{2}\sigma_{1}^{2}+(1-w_{1})^{2}\sigma_{2}^{2}\bigr) =2w_{1}\sigma_{1}^{2}-2(1-w_{1})\sigma_{2}^{2}=0.

Passo 4

Da equação crítica
2w_{1}\sigma_{1}^{2}=2(1-w_{1})\sigma_{2}^{2} \quad\Longrightarrow\quad w_{1}\sigma_{1}^{2}=(1-w_{1})\sigma_{2}^{2},
temos
w_{1}(\sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2})=\sigma_{2}^{2} \quad\Longrightarrow\quad w_{1}=\frac{\sigma_{2}^{2}}{\sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2}},
e como w_{2}=1-w_{1},
w_{2}=\frac{\sigma_{1}^{2}}{\sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2}}.

Resposta

a) A condição de não viés é
w_{1}+w_{2}=1.
b) Os pesos que minimizam a variância são
w_{1}=\frac{\sigma_{2}^{2}}{\sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2}}, \qquad w_{2}=\frac{\sigma_{1}^{2}}{\sigma_{1}^{2}+\sigma_{2}^{2}}.

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