Sejam
e
va’s independentes tais que
e
. Considere uma amostra de tamanho
sendo uma observação da va
e a outra de
.
Sendo
um estimador para
, determine:
a) Qual a condição sobre
e
para que
não seja viesado?
b) Sob a condição acima, determine os valores de
e
para que a variância de
seja mínima.
Sendo
a) Qual a condição sobre
b) Sob a condição acima, determine os valores de
Passo 1
O enunciado considera duas variáveis aleatórias independentes
e
com
e propõe o estimador linear
para
. Vamos primeiro impor a condição de não viés (parte a) e depois escolher os pesos para minimizar a variância (parte b).
Passo 2
Para que
seja não viesado, requeremos
deva ser igual a
. Logo a condição é
Passo 3
Sob
, escrevemos
e calculamos a variância de
:
Para encontrar o mínimo, derivamos em relação a
e igualamos a zero:
Passo 4
Da equação crítica
temos
e como
,
Resposta
a) A condição de não viés é
b) Os pesos que minimizam a variância são