1. Se o método de Newton for usado em f(x)=x^{3}-x+1, iniciando com x_{0}=1, qual será o valor de x_{1} ?

Passo 1

O enunciado dá a função \,f(x)=x^{3}-x+1, e pede para aplicar o método de Newton partindo de x_{0}=1 e encontrar x_{1}.
Informações fornecidas:
  • Função: \,f(x)=x^{3}-x+1.
  • Ponto inicial: \,x_{0}=1.
    O que é pedido:
  • Calcular o próximo iterado \,x_{1} do método de Newton.

Passo 2

Apresentar a fórmula do método de Newton e explicar cada termo. A iteração de Newton é dada por
x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}.
Explicação dos termos:
  • \,x_{n} é a aproximação atual da raiz.
  • \,x_{n+1} é a nova aproximação (que queremos calcular para n=0).
  • \,f(x_{n}) é o valor da função no ponto \,x_{n}.
  • \,f'(x_{n}) é a derivada da função no ponto \,x_{n}; geometricamente é a inclinação da reta tangente à curva y=f(x) em x_{n}.
    Para usar a fórmula precisamos primeiro calcular a derivada \,f'(x) da função dada.

Passo 3

Calcular a derivada da função \,f(x)=x^{3}-x+1. Usando a regra básica de derivação para potências e soma:
  • a derivada de \,x^{3} é \,3x^{2},
  • a derivada de \,-x é -1,
  • a derivada de \,1 é 0.
    Portanto
f'(x)=3x^{2}-1.

Passo 4

Avaliar \,f(x) e \,f'(x) em \,x_{0}=1.
Calcular \,f(1):
f(1)=1^{3}-1+1=1-1+1=1.
Calcular \,f'(1):
f'(1)=3\cdot 1^{2}-1=3-1=2.

Passo 5

Aplicar a fórmula de Newton para obter \,x_{1}:
x_{1}=x_{0}-\frac{f(x_{0})}{f'(x_{0})}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}.
Interpretação rápida: a reta tangente em x_{0}=1 tem inclinação 2 e corta o eixo x em x=\tfrac{1}{2}, essa é a nova aproximação do método.

Resposta

\tfrac{1}{2}

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