Um método de Runge-Kutta de 2 estágios é definido como
Considere que
. Encontre relações para os coeficientes
e
de forma a garantir que o método possua segunda ordem de precisão. Dica: Expandir
em série ao redor de
e comparar com o método de Taylor de segunda ordem.
Passo 1
O enunciado define um método de Runge–Kutta de 2 estágios para aproximar a solução de y′=f(t,y) e pede as condições sobre os coeficientes c₁, c₂ e a₂ para que o método seja de segunda ordem. Vamos usar expansão em série de Taylor e comparar com a expansão exata até O(h³).
Passo 2
Expandimos k₂ em série de Taylor em torno de (t_i,y_i). Como k₁=f(t_i,y_i), temos
Passo 3
Substituímos k₁ e k₂ em y_{i+1}:
Como c₁+c₂=1, isso vira
Passo 4
A expansão de Taylor exata até 2ª ordem é
Comparando os coeficientes de h² obtemos a condição
Resposta
As condições para segunda ordem são
c_{1}+c_{2}=1
c_{2},a_{2}=\tfrac12
c_{1}+c_{2}=1
c_{2},a_{2}=\tfrac12