Um método de Runge-Kutta de 2 estágios é definido como
yi+1 & =yi+h(c1 k1+c2 k2) k1 & =f(ti, yi) k2 & =f(ti+a2 h, yi+a2 k1 h)
Considere que c1+c2=1. Encontre relações para os coeficientes c1, c2 e a2 de forma a garantir que o método possua segunda ordem de precisão. Dica: Expandir k2 em série ao redor de k1 e comparar com o método de Taylor de segunda ordem.

Passo 1

O enunciado define um método de Runge–Kutta de 2 estágios para aproximar a solução de y′=f(t,y) e pede as condições sobre os coeficientes c₁, c₂ e a₂ para que o método seja de segunda ordem. Vamos usar expansão em série de Taylor e comparar com a expansão exata até O(h³).

Passo 2

Expandimos k₂ em série de Taylor em torno de (t_i,y_i). Como k₁=f(t_i,y_i), temos
k2=f(ti+a2h,,yi+a2h,k1)=f+ a2hl(ft+f,fyr)+O(h^2),

Passo 3

Substituímos k₁ e k₂ em y_{i+1}:
yi+1=yi+hl(c1+c2r)f +h^2,c2a2l(ft+f,fyr)+O(h^3)
Como c₁+c₂=1, isso vira
yi+1=yi+hf +h^2c2a2l(ft+f,fyr)+O(h^3)

Passo 4

A expansão de Taylor exata até 2ª ordem é
y(ti+h)=yi+hf +tfrach^22l(ft+f,fyr)+O(h^3)
Comparando os coeficientes de h² obtemos a condição
c2,a2=tfrac12

Resposta

As condições para segunda ordem são
c_{1}+c_{2}=1
c_{2},a_{2}=\tfrac12

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