Resolva o problema de valor inicial
y^prime=t^2+y y(0)=1, t in[0,0.6]
utilizando o método de Euler, Euler melhorado e o método de Runge-Kutta de quarta ordem de precisão. Aplique 3 passos para os métodos de Euler e um passo para o método de Runge-Kutta de quarta ordem.

Passo 1

A questão pede resolver o problema de valor inicial y'=t^2+y, y(0)=1 no intervalo [0,0.6] usando três métodos numéricos: Euler explícito (3 passos), Euler melhorado (3 passos) e Runge–Kutta de ordem 4 (1 passo). Para Euler e Euler melhorado escolhemos passo h=(0.6-0)/3=0.2. Para Runge–Kutta de 4ª ordem usamos um único passo h=0.6. A função é f(t,y)=t^2+y.

Passo 2

Aplicando Euler explícito com h=0.2: usamos a fórmula yn+1=yn+h,f(tn,yn). Começando em t0=0, y0=1:
f0=0^2+1=1 y1=1+0.2cdot1=1.2
t1=0.2, y1=1.2, f1=0.2^2+1.2=1.24 y2=1.2+0.2cdot1.24=1.448
t2=0.4, y2=1.448, f2=0.4^2+1.448=1.608 y3=1.448+0.2cdot1.608=1.7696

Passo 3

Aplicando Euler melhorado (Heun) com h=0.2: em cada passo usamos
k1=f(tn,yn), k2=fl(tn+h,yn+h,k1r), yn+1=yn+tfrach2(k1+k2)
Passo a passo:
  1. t0=0,y0=1,k1=1, previsão y^*=1+0.2cdot1=1.2,k2=0.2^2+1.2=1.24 y1=1+0.1(1+1.24)=1.224
  2. t1=0.2,y1=1.224,k1=1.264, previsão y^*=1.224+0.2cdot1.264=1.477,k2=0.4^2+1.477=1.637 y2=1.224+0.1(1.264+1.637)=1.5141
  3. t2=0.4,y2=1.5141,k1=1.6741, previsão y^*=1.5141+0.2cdot1.6741=1.848,k2=0.6^2+1.848=2.208 y3=1.5141+0.1(1.6741+2.208)=1.90231

Passo 4

Aplicando Runge–Kutta de 4ª ordem num único passo h=0.6: definimos
k1 = h,f(t0,y0), k2 = h,fl(t0+tfrach2,y0+tfrack12r), k3 = h,fl(t0+tfrach2,y0+tfrack22r), k4 = h,f(t0+h,y0+k3), y1 = y0 + k1+2k2+2k3+k46
Com y0=1:
k1=0.6cdot1=0.6,
k2=0.6,(0.3^2+1.3)=0.6cdot1.39=0.834,
k3=0.6,(0.3^2+1.417)=0.6cdot1.507=0.9042,
k4=0.6,(0.6^2+1.9042)=0.6cdot2.2642=1.35852
y1=1+tfrac0.6+2cdot0.834+2cdot0.9042+1.358526=1.90582.

Resposta

Aproximações em t=0.6:
Euler explícito ≈ 1.7696;
Euler melhorado ≈ 1.90231;
Runge–Kutta 4ª ordem ≈ 1.90582.

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