Determine os pontos da superfície nos quais o plano tangente é perpendicular à reta .
Passo 1
O enunciado dá a superfície
e pede os pontos onde o plano tangente é perpendicular à reta de equações paramétricas
Conteúdo: usamos que o vetor normal ao plano tangente é o gradiente da função implícita e o plano ser perpendicular à reta significa que esse normal é paralelo ao vetor diretor da reta.
Passo 2
Para escrever o plano tangente, considere a função
O gradiente é
Esse vetor é normal ao plano tangente em cada ponto .
Passo 3
A reta tem vetor diretor
Queremos os pontos em que
isto é, existe tal que
Passo 4
Igualando componentes, temos o sistema
Da terceira equação sai lambda = -1. Substituindo nas duas primeiras:
6x = -3cdot(-1) = 3 Longrightarrow x = 12,
4y = 8cdot(-1) = -8 Longrightarrow y = -2
Passo 5
O ponto deve pertencer à superfície, então calculamos