1. Determine os pontos da superfície z=8-3 x^2-2 y^2 nos quais o plano tangente é perpendicular à reta x=2-3 t, y=7+8 t, z=5-t.

Passo 1

O enunciado dá a superfície
z = 8 - 3x^2 - 2y^2
e pede os pontos onde o plano tangente é perpendicular à reta de equações paramétricas
x = 2 - 3t, y = 7 + 8t, z = 5 - t
Conteúdo: usamos que o vetor normal ao plano tangente é o gradiente da função implícita e o plano ser perpendicular à reta significa que esse normal é paralelo ao vetor diretor da reta.

Passo 2

Para escrever o plano tangente, considere a função
F(x,y,z) = z - l(8 - 3x^2 - 2y^2r) = 0
O gradiente é
nabla F(x,y,z) = l(partial Fpartial x,,partial Fpartial y,,partial Fpartial zr) = (6x,,4y,,1)
Esse vetor é normal ao plano tangente em cada ponto (x,y,z).

Passo 3

A reta tem vetor diretor
v = (-3,,8,,-1)
Queremos os pontos em que
nabla F(x,y,z) paral<=l v,
isto é, existe lambda tal que
(6x,,4y,,1) = lambda,(-3,,8,,-1)

Passo 4

Igualando componentes, temos o sistema
6x = -3lambda, 4y = 8lambda, 1 = -lambda
Da terceira equação sai lambda = -1. Substituindo nas duas primeiras:
6x = -3cdot(-1) = 3 Longrightarrow x = 12,
4y = 8cdot(-1) = -8 Longrightarrow y = -2

Passo 5

O ponto deve pertencer à superfície, então calculamos
z = 8 - 3l(tfrac12r)^2 - 2(-2)^2 = 8 - tfrac34 - 8 = -tfrac34
Logo o ponto é l(tfrac12,,-2,,-tfrac34r).

Resposta

l(tfrac12,,-2,,-tfrac34r)

Exercícios relacionados