Um método está sendo avaliado para a determinação de Zn em um suplemento alimentar. Sabe-se que uma amostra do suplemento contém 100 mg de Zn . Essa amostra foi analisada seis vezes e os resultados obtidos foram os seguintes: 100, 4100,0101,0100,8100,3100,1 mg. Calcule o intervalo de confiança para a média a 95%.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos um método para medir a quantidade de zinco (Zn) em um suplemento alimentar. Sabemos que uma amostra desse suplemento contém 100 mg de Zn. Essa amostra foi testada seis vezes, e os resultados obtidos foram: 100 mg, 100,1 mg, 100,1 mg, 100,8 mg, 100,3 mg e 100,1 mg. Nosso objetivo aqui é calcular o intervalo de confiança para a média desses resultados com um nível de confiança de 95%. Para isso, vamos precisar entender conceitos de estatística como média, desvio padrão e intervalo de confiança, além de utilizar a distribuição t de Student, já que estamos trabalhando com uma amostra pequena (n < 30).

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média ( barx) dos resultados obtidos. A média é a soma de todos os valores dividida pelo número de observações.
barx = 100 + 100,1 + 100,1 + 100,8 + 100,3 + 100,16
Vamos fazer essa conta:
barx = 600,46 = 100,07 , mg

Passo 3

Agora, precisamos calcular o desvio padrão da amostra ( s), que nos dá uma ideia de quão dispersos estão os valores em relação à média. A fórmula para o desvio padrão é:
s = raizsum (xi - barx)^2n - 1
Onde:
  • xi são os valores individuais,
  • barx é a média,
  • n é o número de observações.
Vamos calcular cada parte:
(100 - 100,07)^2 &= ( -0,07)^2 = 0,0049 (100,1 - 100,07)^2 &= (0,03)^2 = 0,0009 (100,1 - 100,07)^2 &= (0,03)^2 = 0,0009 (100,8 - 100,07)^2 &= (0,73)^2 = 0,5329 (100,3 - 100,07)^2 &= (0,23)^2 = 0,0529 (100,1 - 100,07)^2 &= (0,03)^2 = 0,0009
Somando esses valores:
0,0049 + 0,0009 + 0,0009 + 0,5329 + 0,0529 + 0,0009 = 0,5924
Agora, dividimos pela quantidade de dados menos um (6 - 1 = 5):
s = raiz0,59245 = raiz0,1185 approx 0,3444 , mg

Passo 4

Com a média e o desvio padrão em mãos, vamos calcular o erro padrão da média ( SE), que é dado por:
SE = sraizn
Onde:
  • s é o desvio padrão,
  • n é o número de observações.
Substituindo os valores:
SE = 0,3444raiz6 approx 0,34442,4495 approx 0,1406 , mg

Passo 5

Como estamos trabalhando com uma amostra pequena (n = 6) e desconhecemos o desvio padrão da população, devemos usar a distribuição t de Student para encontrar o intervalo de confiança. Primeiro, precisamos encontrar o valor crítico t^* para um nível de confiança de 95% e graus de liberdade df = n - 1 = 5.
Consultando uma tabela de distribuição t ou usando uma calculadora, encontramos que:
t^* approx 2,570

Passo 6

Agora, podemos calcular o intervalo de confiança ( IC) usando a fórmula:
IC = barx pm t^* times SE
Substituindo os valores:
IC = 100,07 pm 2,570 times 0,1406
IC = 100,07 pm 0,361

Passo 7

Finalmente, calculamos os limites inferior e superior do intervalo:
Limite Inferior &= 100,07 - 0,361 = 99,709 , mg Limite Superior &= 100,07 + 0,361 = 100,431 , mg

Resposta

O intervalo de confiança para a média a 95% é de aproximadamente 99,71 mg a 100,43 mg.

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