O método da separação de variáveis aplicado ao problema
\begin{cases}u_{t t}=u_{x x} & \\\ u(t, 0)=0, & u(t, L)=0 \\\ u(0, x)=f(x), & u_{t}(0, x)=0\end{cases}
implica que devemos resolver quais problemas auxiliares:
a) \left\{\begin{array}{l}X^{\prime \prime}+\lambda X=0 \\\ X(0)=0, X(L)=0\end{array}\right. e \left\{\begin{array}{l}T^{\prime \prime}+\lambda T=0 \\\ T(0)=0\end{array}\right.
b) \left\{\begin{array}{l}X^{\prime \prime}+\lambda X=0 \\\ X(0)=0, X(L)=0\end{array}\right. e \left\{\begin{array}{l}T^{\prime \prime}+\lambda T=0 \\\ T^{\prime}(0)=0\end{array}\right.
c) \left\{\begin{array}{l}X^{\prime \prime}+\lambda X=0 \\\ X(0)=0, X(L)=0\end{array}\right. e \left\{\begin{array}{l}T^{\prime \prime}+\lambda T=0 \\\ T(0)=f(x)\end{array}\right.
d) \left\{\begin{array}{l}X^{\prime \prime}+\lambda X=0 \\\ X(0)=f(x)\end{array}\right. e \left\{\begin{array}{l}T^{\prime \prime}+\lambda T=0 \\\ T(0)=0, T(L)=0\end{array}\right.
e) \left\{\begin{array}{l}X^{\prime \prime}+\lambda X=0 \\\ X(0)=0\end{array}\right. e \left\{\begin{array}{l}T^{\prime \prime}+\lambda T=0 \\\ T(0)=0, T(L)=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado trata da equação da onda unidimensional
u_{t t} = u_{x x},
com condições de contorno
u(t,0)=0,\quad u(t,L)=0
e condições iniciais
u(0,x)=f(x),\quad u_t(0,x)=0.
Vamos usar o método da separação de variáveis, assumindo
u(t,x)=T(t)\,X(x).
O conteúdo é separar em duas EDOs acopladas e depois impor as condições de contorno em x e as iniciais em t.

Passo 2

Substituindo u(t,x)=T(t)X(x) na PDE temos
T''(t)\,X(x) \;=\; X''(x)\,T(t).
Dividindo por T(t)X(x) (suponto nenhuma é zero identicamente) obtemos
\frac{T''(t)}{T(t)} \;=\;\frac{X''(x)}{X(x)} \;=\;\lambda,
onde \lambda é a constante de separação.

Passo 3

Essa igualdade gera duas EDOs:
X''(x) - \lambda\,X(x) = 0, \qquad T''(t) - \lambda\,T(t) = 0.
Para achar modos não-triviais precisamos de \lambda>0; escrevemos então \lambda=k^2 e reescrevemos
X''(x)+k^2X(x)=0, \qquad T''(t)+k^2T(t)=0.

Passo 4

Agora impomos as condições de contorno e iniciais nos dois problemas:
  • Em x, temos u(t,0)=T(t)X(0)=0 e u(t,L)=T(t)X(L)=0. Como queremos T não nula, obrigatoriamente
X(0)=0,\quad X(L)=0.
  • Em t, com u_t(0,x)=T'(0)X(x)=0 para todo x, deduzimos
T'(0)=0.

Resposta

b) \displaystyle \begin{cases} X''+\lambda X=0,\\\ X(0)=0,\;X(L)=0 \end{cases} \quad\text{e}\quad \displaystyle \begin{cases} T''+\lambda T=0,\\\ T'(0)=0. \end{cases}

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