O método da separação de variáveis aplicado ao problema
implica que devemos resolver quais problemas auxiliares:
a)
e
b)
e
c)
e
d)
e
e)
e
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado trata da equação da onda unidimensional
com condições de contorno
e condições iniciais
Vamos usar o método da separação de variáveis, assumindo
O conteúdo é separar em duas EDOs acopladas e depois impor as condições de contorno em
e as iniciais em
.
Passo 2
Substituindo
na PDE temos
Dividindo por
(suponto nenhuma é zero identicamente) obtemos
onde
é a constante de separação.
Passo 3
Essa igualdade gera duas EDOs:
Para achar modos não-triviais precisamos de
; escrevemos então
e reescrevemos
Passo 4
Agora impomos as condições de contorno e iniciais nos dois problemas:
- Em
, temos e . Como queremos não nula, obrigatoriamente
- Em
, com para todo , deduzimos
Resposta
b)