Q1: Uma partícula de massa 4 m está localizada a 1 m de outra partícula de massa m . Onde você deve colocar uma terceira massa M de modo que a força gravitacional resultante sobre M seja zero?

Passo 1

O enunciado dá duas massas fixas, uma de massa m em um ponto e outra de massa 4m a 1 m de distância dessa primeira, e pede o ponto sobre essa reta em que devemos colocar uma terceira massa M para que a força gravitacional total sobre M seja nula. O conteúdo envolvido é a lei da gravitação de Newton e o princípio da superposição de forças.

Passo 2

Posicionemos a massa m em x=0 e a massa 4m em x=1 (em metros). Seja x a posição da massa M. A distância de M até m é \lvert x-0\rvert=|x| e até 4m é \lvert x-1\rvert. As forças gravitacionais têm magnitudes
F_{m} = G\,\frac{m\,M}{x^{2}},
F_{4m} = G\,\frac{4m\,M}{(x-1)^{2}},
sempre apontando na direção de atração.

Passo 3

Para que a soma vetorial seja zero, essas forças devem ter a mesma intensidade e direções opostas. No trecho entre 0 e 1 as direções são contrárias, logo impomos
G\,\frac{m\,M}{x^{2}} = G\,\frac{4m\,M}{(1-x)^{2}}.
Cancelando G\,m\,M em ambos os lados, fica
\frac{1}{x^{2}} = \frac{4}{(1-x)^{2}}.

Passo 4

Tirando raiz (e considerando x>0 e 1-x>0 para ficar entre as massas), obtemos
\frac{1}{x} = \frac{2}{1-x} \quad\Longrightarrow\quad 2x = 1 - x \quad\Longrightarrow\quad 3x = 1 \quad\Longrightarrow\quad x = \tfrac{1}{3}.

Resposta

A massa M deve ficar no ponto que está a \tfrac{1}{3} m da massa m (e, portanto, a \tfrac{2}{3} m da massa 4m), ou seja, entre as duas massas, em x=\tfrac{1}{3} m.

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