Prove que, para todo a>0, a série \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{a^{n}}{n!} é convergente.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, dado um parâmetro a>0, a série
\sum_{n=1}^{+\infty} \frac{a^{n}}{n!}
é convergente. Como a presença do fatorial sugere crescimento rápido no denominador, o teste da razão é uma boa ferramenta.

Passo 2

Recordamos o teste da razão para séries \sum u_n: se
L = \lim_{n\to+\infty} \left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|
existe e L<1, então a série converge absolutamente (logo converge).

Passo 3

Aqui temos
u_n = \frac{a^n}{n!}.
Então
\frac{u_{n+1}}{u_n} = \frac{\displaystyle \frac{a^{n+1}}{(n+1)!}}{\displaystyle \frac{a^n}{n!}} = \frac{a^{n+1}}{(n+1)!\,}\cdot\frac{n!}{a^n} = \frac{a}{n+1}.

Passo 4

Calculamos o limite da razão:
\lim_{n\to+\infty}\frac{u_{n+1}}{u_n} = \lim_{n\to+\infty}\frac{a}{n+1} = 0.
Como 0<1, o teste da razão garante que a série converge absolutamente.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{a^{n}}{n!} é convergente para todo a>0.

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