Prove que, para todo
, a série
é convergente.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que, dado um parâmetro
, a série
é convergente. Como a presença do fatorial sugere crescimento rápido no denominador, o teste da razão é uma boa ferramenta.
Passo 2
Recordamos o teste da razão para séries
: se
existe e
, então a série converge absolutamente (logo converge).
Passo 3
Aqui temos
Então
Passo 4
Calculamos o limite da razão:
Como
, o teste da razão garante que a série converge absolutamente.
Resposta
A série
é convergente para todo
.