Qual alternativa contém a expansão em Série de Fourier da função 2-periódica
f(x)=\left\{\begin{array}{rr} -1, & -1 \leq x<0 \\\\ 1, & 0 \leq x \leq 1 \end{array}\right.
a) 1+\pi \sum_{n=1}^{\infty} \operatorname{sen}(n \pi x)+\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1+(-1)^{n}}{n} \cos (n \pi x)
b) 2+\pi \sum_{n=1}^{\infty} n^{2} \operatorname{sen}(n \pi x)+\sum_{n=1}^{\infty} n \pi \cos (n \pi x)
c) 2+\frac{2}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1-(-1)^{n}}{n} \operatorname{sen}(n \pi x)+\frac{2}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \cos (n \pi x)
d) \frac{2}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1-(-1)^{n}}{n} \operatorname{sen}(n \pi x)
e) 2+\frac{4}{\pi} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n} \cos (n \pi x)

Passo 1

O enunciado define a função 2-periódica f\) por \[f(x)=\begin{cases} -1,&-1\le x<0,\\\\ 1,&0\le x\le1, \end{cases}
e pede sua expansão em série de Fourier. O período é 2\], logo usamos \(L=1 e a forma geral
f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_n\cos(n\pi x)+b_n\sin(n\pi x)\bigr),
com
a_n=\int_{-1}^{1}f(x)\cos(n\pi x)\,dx,\quad b_n=\int_{-1}^{1}f(x)\sin(n\pi x)\,dx.

Passo 2

Calculamos o termo médio a_0:
a_0=\int_{-1}^{1}f(x)\,dx =\int_{-1}^{0}(-1)\,dx+\int_{0}^{1}1\,dx=(-1)\cdot1+1\cdot1=0.
Logo não há termo constante na série.

Passo 3

Como f é função ímpar ( f(-x)=-f(x)) e \cos(n\pi x) é par, o produto f(x)\cos(n\pi x) é ímpar. Logo
a_n=\int_{-1}^{1}f(x)\cos(n\pi x)\,dx=0\quad\forall n\ge1.

Passo 4

Para os coeficientes b_n, vendo que f(x)\sin(n\pi x) é par, temos
b_n =\int_{-1}^{1}f(x)\sin(n\pi x)\,dx =2\int_{0}^{1}1\cdot\sin(n\pi x)\,dx =2\Bigl[-\frac{\cos(n\pi x)}{n\pi}\Bigr]_{0}^{1} =\frac{2\bigl(1-\cos(n\pi)\bigr)}{n\pi} =\frac{2\bigl(1-(-1)^n\bigr)}{n\pi}.
Então a série fica
f(x) =\sum_{n=1}^{\infty}b_n\sin(n\pi x) =\frac{2}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1-(-1)^n}{n}\,\sin(n\pi x).

Passo 5

Comparando com as alternativas, reconhecemos exatamente a da letra (d).

Resposta

d) \displaystyle \frac{2}{\pi}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1-(-1)^{n}}{n}\,\operatorname{sen}(n\pi x)

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