Identidique e escreva a cônica dada na forma padrão:
9 x^2-18 y^2+24 y-26=0;

Passo 1

O enunciado dá a equação de segundo grau em duas variáveis
9x^2-18y^2+24y-26=0
e pede para identificar a cônica e escrevê-la na forma padrão. Vamos usar a classificação de cônicas via coeficientes quadráticos (aqui temos coeficientes de sinais opostos, indicando hipérbole) e a técnica de completar o quadrado para reorganizar em forma canônica.

Passo 2

Primeiro, agrupamos os termos em x e em y:
9x^2-18y^2+24y-26=0
colocando o grupo de y em evidência:
9x^2-18l(y^2-tfrac43yr)-26=0.

Passo 3

Em seguida, completamos o quadrado dentro de y^2-tfrac43y. Note que
y^2-tfrac43y = l(y-tfrac23r)^2-tfrac49
Substituindo de volta:
9x^2-18l(l(y-tfrac23r)^2-tfrac49r)-26=0

Passo 4

Agora distribuímos e simplificamos:
9x^2-18(y-tfrac23)^2+8-26=0
9x^2-18(y-tfrac23)^2-18=0
Dividindo tudo por 18 para chegar à forma padrão:
9x^218-18(y-tfrac23)^218-1818=0
x^22-(y-tfrac23)^2-1=0
por fim:
x^22-(y-tfrac23)^2=1

Passo 5

Vemos que a equação está no formato de hipérbole central com eixo transverso paralelo ao eixo x. O centro é (0,tfrac23), com a^2=2 e b^2=1.

Resposta

Trata-se de uma hipérbole centrada em (0,tfrac23) cuja forma padrão é:
x^22-(y-tfrac23)^2=1

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