1. Considerando a função
f(x, y)=x+y^2 x
tal que x=raizu+v^2 e y=u^2-v encontre, utilizando a regra da cadeia, as derivadas parciais partial fpartial u e partial fpartial v, em função de u e v.

Passo 1

O enunciado diz que temos a função f definida por f(x,y)=x + x y^2, com x = √u + v^2 e y = u^2 − v, e pede ∂f/∂u e ∂f/∂v usando regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, calculamos as derivadas parciais de f em relação a x e a y mantendo o outro variável constante. Temos
fx = ∂∂x(x + x y^2) = 1 + y^2,
fy = ∂∂y(x + x y^2) = 2 x y

Passo 3

Agora derivamos x e y em relação a u e v:
∂x∂u = 12raizu, ∂x∂v = 2v,
∂y∂u = 2u, ∂y∂v = -1

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia, obtemos:
∂f∂u = fx∂x∂u + fy∂y∂u,
∂fpartial v = fx∂x∂v + fy∂y∂v

Passo 5

Por fim, substituímos f_x, f_y, ∂x/∂u, ∂x/∂v, ∂y/∂u, ∂y/∂v e também x = √u + v^2, y = u^2 − v para expressar tudo em u e v.

Resposta

∂f∂u = 1+(u^2 - v)^22raizu +4ul(raizu+v^2r),(u^2 - v),
∂f∂v = 2vl(1+(u^2 - v)^2r) -2l(raizu+v^2r),(u^2 - v)

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