Um método titulométrico usado na determinação de cálcio em calcário foi testado pela análise de um calcário de referência contendo 30,15 % de CaO . O resultado médio de quatro análises foi 30,26 % de CaO , com um desvio padrão de 0,085 %. Pela combinação de dados de várias análises, foi estabelecido que s sigma=0,094 % de CaO . Os dados indicam a presença de um erro sistemático a um nível de confiança de 95 % ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que envolve química analítica e estatística. O objetivo é verificar se o método usado para determinar a quantidade de cálcio (CaO) em um calcário está apresentando um erro sistemático. Para isso, vamos comparar o resultado das análises com o valor de referência e usar estatísticas para ver se a diferença é significativa com 95% de confiança. Vamos precisar entender conceitos de média, desvio padrão e teste de hipótese.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as hipóteses que vamos testar:
  • Hipótese Nula (H₀): O método não apresenta erro sistemático. Ou seja, a média das análises é igual ao valor de referência (30,15% de CaO).
  • Hipótese Alternativa (H₁): O método apresenta erro sistemático. Ou seja, a média das análises é diferente do valor de referência.

Passo 3

Agora, vamos definir o nível de significância, que é 5% (porque queremos 95% de confiança). Como temos uma amostra pequena (n = 4), vamos usar a distribuição t de Student. Precisamos encontrar o valor crítico de t para 3 graus de liberdade (n-1) e nível de significância de 5%.
Consultando uma tabela de t ou usando uma calculadora, encontramos que o valor crítico de t para dois lados é aproximadamente 3,182.

Passo 4

Vamos calcular o valor do teste t usando a fórmula:
t = barx - musigmaraizn
Onde:
  • barx é a média das análises = 30,26%
  • mu é o valor de referência = 30,15%
  • sigma é o desvio padrão combinado = 0,094%
  • n é o número de análises = 4
Substituindo os valores:
t = 30,26 - 30,150,094raiz4 = 0,110,047 approx 2,34

Passo 5

Agora, comparamos o valor calculado de t (2,34) com o valor crítico (3,182):
  • Se |t| > tcríticoí, rejeitamos a hipótese nula.
  • Se |t| <= tcríticoí, não rejeitamos a hipótese nula.
No nosso caso, 2,34 < 3,182, então não rejeitamos a hipótese nula.

Passo 6

Como o valor calculado de t não é maior que o valor crítico, não há evidências suficientes para afirmar que existe um erro sistemático no método utilizado para determinar o CaO no calcário, com 95% de confiança.

Resposta

Os dados não indicam a presença de um erro sistemático a um nível de confiança de 95%.

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