Um método titulométrico usado na determinação de cálcio em calcário foi testado pela análise de um calcário de referência contendo 30,15 % de CaO . O resultado médio de quatro análises foi 30,26 % de CaO , com um desvio padrão de 0,085 %. Pela combinação de dados de várias análises, foi estabelecido que s sigma=0,094 % de CaO . Os dados poderiam indicar a presença de um erro sistemático a um nível de confiança de 95 % se não houvesse valores disponíveis de s combinado?

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos um método que mede a quantidade de CaO (óxido de cálcio) em um calcário. Um calcário de referência, que deveria ter 30,15% de CaO, foi analisado quatro vezes usando esse método, e a média obtida foi 30,26% de CaO com um desvio padrão de 0,085%. Além disso, sabendo que o desvio padrão combinado é 0,094%. A pergunta é: Esses resultados podem mostrar que existe um erro sistemático no método utilizado, com 95% de confiança, caso não tenhamos o valor de s combinado?
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de estatística inferencial, especificamente o teste t de Student para verificar se a média obtida difere significativamente do valor de referência.

Passo 2

Primeiro, vamos estabelecer as hipóteses que iremos testar:
  • Hipótese nula (H₀): O método é preciso, ou seja, a média das análises é igual ao valor de referência. $ H₀: \mu = 30,15% $
  • Hipótese alternativa (H₁): O método apresenta um erro sistemático, ou seja, a média das análises é diferente do valor de referência. $ H₁: \mu \neq 30,15% $

Passo 3

Agora, vamos calcular o estatístico t para testar essas hipóteses. A fórmula para o t é:
t = X - mu0sraizn
Onde:
  • $ \overline{X} $ é a média das análises ($30,26% $)
  • $ \mu_0 $ é o valor de referência ($30,15% $)
  • $ s $ é o desvio padrão combinado ($0,094% $)
  • $ n $ é o número de análises (4)
Substituindo os valores:
X

Passo 4

Agora, precisamos determinar o valor crítico do t para um nível de confiança de 95% e $ n - 1 = 3 $ graus de liberdade. Consultando uma tabela de distribuição t de Student, encontramos que o valor crítico para $ \alpha = 0,05 $ (teste bicaudal) e 3 graus de liberdade é aproximadamente 3,182.

Passo 5

Comparamos o valor calculado de t (2,34) com o valor crítico (3,182):
  • Se $ |t| > t_{crítico} $, rejeitamos a hipótese nula.
  • Se $ |t| \leq t_{crítico} $, não rejeitamos a hipótese nula.
Neste caso:
|t| > tcrítico
Portanto, não rejeitamos a hipótese nula.

Resposta

Com base nos cálculos, não há evidências suficientes para indicar a presença de um erro sistemático no método a um nível de confiança de 95%.

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