Um método titulométrico usado na determinação de cálcio em calcário foi testado pela análise de um calcário de referência contendo 30,15 \% de CaO . O resultado médio de quatro análises foi 30,26 \% de CaO , com um desvio padrão de 0,085 \%. Pela combinação de dados de várias análises, foi estabelecido que s \rightarrow \sigma=0,094 \% de CaO .
(a) Os dados indicam a presença de um erro sistemático a um nível de confiança de 95%?
(b) Os dados poderiam indicar a presença de um erro sistemático a um nível de confiança de 95 \% se não houvesse valores disponíveis de s combinado?

Passo 1

O enunciado nos dá um valor de referência para teor de CaO em calcário \mu_0 = 30,15\%, e uma amostra de n=4 análises que forneceu média \bar x = 30,26\% e desvio padrão amostral s = 0,085\%. Além disso, a partir de vários ensaios anteriores, foi obtida uma estimativa combinada do desvio padrão do método \sigma = 0,094\%. O conteúdo é teste de hipótese para a média: verificamos se há erro sistemático, isto é, se \mu\neq\mu_0. No item (a) usamos \sigma conhecido e aplicamos o teste-Z; no item (b) supondo \sigma desconhecido, usamos o teste-t de Student.

Passo 2

Formulamos as hipóteses para teste bilateral ao nível de confiança de 95 % \alpha=0,05:
H_0:\mu = \mu_0 = 30{,}15\%,\quad H_1:\mu \neq 30{,}15\%.
Como \sigma é conhecido, o estatístico é
z = \frac{\bar x - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}.
Rejeitamos H_0 se \lvert z\rvert > z_{1-\alpha/2}= z_{0,975}=1{,}96.

Passo 3

Calculando
z = \frac{30{,}26 - 30{,}15}{0,094/\sqrt{4}} = \frac{0,11}{0,094/2} = \frac{0,11}{0,047} \approx 2{,}34.
Como 2{,}34 > 1{,}96, rejeitamos H_0 e concluímos que há indícios de erro sistemático ao nível de 95 %.

Passo 4

Agora supondo \sigma desconhecido e usando apenas s=0,085\%, usamos o teste-t bilateral com n-1=3 graus de liberdade. O estatístico é
t = \frac{\bar x - \mu_0}{s/\sqrt{n}},
e rejeitamos H_0 se \lvert t\rvert > t_{1-\alpha/2,\,3}=t_{0,975,3}\approx3{,}182.

Passo 5

Calculando
t = \frac{30{,}26 - 30{,}15}{0,085/\sqrt{4}} = \frac{0,11}{0,085/2} = \frac{0,11}{0,0425} \approx 2{,}59.
Como 2{,}59 < 3{,}182, não rejeitamos H_0. Logo, sem o desvio padrão conhecido, não há evidência suficiente para indicar erro sistemático a 95 %.

Resposta

(a) Sim, usando o desvio padrão \sigma=0,094\% conhecido, o teste-Z rejeita H_0.
(b) Não, sem \sigma conhecido e usando o teste-t, não se rejeita H_0 a 95 %.

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