GRUPO 02- DERIVADAS (ESCOLHA APENAS 4 QUESTÖES)
Se f(x)=ln (1+sen x1-sen x), mostre que f^prime(x)=2 sec x.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos descobrir a sua derivada, que é . Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo diferencial, especialmente a derivada do logaritmo natural e regras de derivação de funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da regra de derivação do logaritmo natural. Se tivermos uma função da forma f'(x) = g'(x)g(x) , a derivada dela é:
No nosso caso, . Então, precisamos encontrar a derivada de , ou seja, .

Passo 3

Para derivar (uv)' = u'v - uv'v^2 , vamos usar a regra do quociente. A regra do quociente diz que se temos , a derivada é:
Aqui, e . Vamos derivar cada parte.

Passo 4

Calculando as derivadas de u' = ddx(1 + sin x) = cos x e v' = ddx(1 - sin x) = -cos x :
g'(x) = (cos x)(1 - sin x) - (1 + sin x)(-cos x)(1 - sin x)^2
Agora, aplicamos a regra do quociente:

Passo 5

Vamos simplificar o numerador:
(cos x)(1 - sin x) - (1 + sin x)(-cos x) = cos x - cos x sin x + cos x + cos x sin x = 2cos x
Então, a derivada de g'(x) = 2cos x(1 - sin x)^2 fica:

Passo 6

Agora, voltamos à derivada de f'(x) = g'(x)g(x) = 2cos x(1 - sin x)^21 + sin x1 - sin x = 2cos x(1 - sin x)^2 times 1 - sin x1 + sin x :

Passo 7

Simplificando a expressão:
f'(x) = 2cos x (1 - sin x)(1 - sin x)^2 (1 + sin x) = 2cos x(1 - sin x)(1 + sin x) = 2cos x1 - sin^2 x

Passo 8

Lembrando que f'(x) = 2cos xcos^2 x = 2cos x = 2 sec x , temos:

Resposta

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