Com o Método de Variação dos Parâmetros (MVP), encontre a solução geral da edo.
y^prime prime-2 y^prime+y=x^-5 e^x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial não homogênea
y'' - 2y' + y = x^-5 e^x
usando o Método de Variação dos Parâmetros. Trata-se de uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos primeiro encontrar a solução geral da homogênea e depois aplicar o MVP para obter uma particular.

Passo 2

Resolvendo a equação homogênea
y'' - 2y' + y = 0
montamos a equação característica
r^2 - 2r + 1 = 0 ;Longrightarrow; (r-1)^2 = 0,
que tem raiz dupla r=1. Logo, a solução geral homogênea é
yh = C1 e^x + C2,x e^x

Passo 3

Escolhemos duas soluções fundamentais
y1(x) = e^x, y2(x) = x e^x
e calculamos o Wronskiano
W(x) = y1 & y2 y1' & y2' = e^x & x e^x e^x & (1+x)e^x = e^xcdot(1+x)e^x - e^xcdot x e^x = e^2x

Passo 4

No MVP definimos
u1'(x) = -y2(x),g(x)W(x), u2'(x) = y1(x),g(x)W(x),
onde g(x)=x^-5e^x. Calculamos:
u1'(x) = -x e^x cdot x^-5e^xe^2x = -x^-4, u2'(x) = e^xcdot x^-5e^xe^2x = x^-5

Passo 5

Integramos para obter u1 e u2:
u1(x) = integral -x^-4,dx = -integral x^-4,dx = -l(-tfrac13x^-3r) = tfrac13x^-3,
u2(x) = integral x^-5,dx = -tfrac14x^-4
Em seguida a solução particular é
yp(x) = u1(x),y1(x) + u2(x),y2(x) = tfrac13x^-3e^x +l(-tfrac14x^-4r)! l(xe^xr) = l(tfrac13-tfrac14r)x^-3e^x = tfrac112x^-3e^x

Passo 6

A solução geral da EDO é a soma da homogênea com a particular:
y(x) = yh(x) + yp(x) = C1 e^x + C2,x e^x + tfrac112x^-3e^x

Resposta

boxedy(x) = C1 e^x + C2,x e^x + 112,x^-3e^x

Exercícios relacionados