Seja f(x) uma função derivável no intervalo (-1,1) e suponha que f^prime(x)=x^2+(f(x))^2, para todo x in(-1,1) e, além disso, que f(0)=0.
(a) Mostre que em x=0 a reta tangente ao gráfico de f(x) é horizontal e que o ponto de abscissa x=0 não é de máximo nem de mínimo.
(b) Determine os intervalos onde f(x) é côncava para cima e para baixo.

Passo 1

O enunciado dá uma função f derivável em (-1,1) tal que
f'(x)=x^2+l(f(x)r)^2,
com a condição inicial f(0)=0.
Conteúdo: derivada, monotonicidade e concavidade. Vamos primeiro achar a reta tangente em x=0 e ver se é extremo; em seguida, calcular f''(x) para determinar concavidade.

Passo 2

Para a reta tangente em x=0 precisamos de f'(0). Calculamos
f'(0)=0^2+l(f(0)r)^2=0+0=0,
logo a reta tangente é horizontal. Além disso, como
f'(x)=x^2+l(f(x)r)^2>=0e f'(x)>0 forall xneq0,
vemos que f é estritamente crescente em (-1,0) e em (0,1). Assim, apesar de f'(0)=0, x=0 não é nem máximo nem mínimo.

Passo 3

Para usar f''(x) teremos de saber o sinal de f(x). Como f(0)=0 e f'!>!0 em (0,1), segue que f(x)>0 para x>0. De modo análogo, em (-1,0) temos f(x)<0.

Passo 4

Derivando f'(x) obtemos
f''(x)=ddxl[x^2+(f(x))^2r] =2x+2,f(x),f'(x)
Para x>0 temos 2x>0, f(x)>0 e f'(x)>0, logo f''(x)>0 (côncava para cima). Para x<0 temos 2x<0, f(x)<0 e f'(x)>0, de onde 2x+2f(x)f'(x)<0 (côncava para baixo).

Resposta

A reta tangente em x=0 é horizontal e não há extremo em x=0.
f é côncava para baixo em (-1,0) e côncava para cima em (0,1).

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