Seja
uma função derivável no intervalo
e suponha que
, para todo
e, além disso, que
.
(a) Mostre que em
a reta tangente ao gráfico de
é horizontal e que o ponto de abscissa
não é de máximo nem de mínimo.
(b) Determine os intervalos onde
é côncava para cima e para baixo.
(a) Mostre que em
(b) Determine os intervalos onde
Passo 1
O enunciado dá uma função
derivável em
tal que
com a condição inicial
.
Conteúdo: derivada, monotonicidade e concavidade. Vamos primeiro achar a reta tangente em e ver se é extremo; em seguida, calcular
para determinar concavidade.
Conteúdo: derivada, monotonicidade e concavidade. Vamos primeiro achar a reta tangente em
Passo 2
Para a reta tangente em
precisamos de
. Calculamos
logo a reta tangente é horizontal. Além disso, como
vemos que
é estritamente crescente em
e em
. Assim, apesar de
,
não é nem máximo nem mínimo.
Passo 3
Para usar
teremos de saber o sinal de
. Como
e
em
, segue que
para
. De modo análogo, em
temos
.
Passo 4
Derivando
obtemos
Para
temos
,
e
, logo
(côncava para cima). Para
temos
,
e
, de onde
(côncava para baixo).
Resposta
A reta tangente em
é horizontal e não há extremo em
.
é côncava para baixo em
e côncava para cima em
.