Exercício 7. (Apostol, seção 3.6, exercício 5 e 6)
a) Seja . Mostre que det(lllla & b & 0 & 0 c & d & 0 & 0 e & f & g & h x & y & z & w)=det(lla & b c & d) det(llg & h z & w).
b) Enuncie e demonstre uma generalização para matrizes da forma
A=(cc B & 0 C & D )
em que B in Mn times n(R), D in Mm times m(R) e C in Mm times n(R).
Passo 1
O enunciado trata de matrizes em blocos e pede para mostrar que, no caso especial
temos
Em seguida pede-se a generalização para uma matriz em blocos da forma
com , e .
Vamos usar o desenvolvimento de Laplace (ou o argumento de permutações) para matrizes triangulares em blocos.
Passo 2
Para a parte (a), observe na definição por permutações
Como os quatro primeiros elementos de cada termo vêm um de cada linha, sempre que algum Ai,sigma(i) cair em um dos zeros da posição (1,3),(1,4),(2,3),(2,4), o termo anula. Logo, as únicas permutações que contribuem são as que mandam 1,2 em 1,2 e 3,4 em 3,4.
Passo 3
Essas permutações se decompõem em uma permutação de e uma permutação de . A cada associa-se um sinal e o produto dos elementos de , e a cada associa-se e o produto dos elementos de . Portanto
Passo 4
Mas as somas internas são exatamente e . Logo concluímos
Passo 5
Para a parte (b), enunciamos a generalização:
Se
com , e , então
A prova segue o mesmo raciocínio: ao expandir por permutações em , qualquer termo que use um elemento do bloco zero anula, restando apenas permutações que permutam as primeiras linhas nas primeiras colunas e as últimas linhas nas últimas colunas. Isso se separa num produto de dois determinantes, um de tamanho e outro de tamanho .