Exercício 7. (Apostol, seção 3.6, exercício 5 e 6)
a) Seja A=(lllla & b & 0 & 0 c & d & 0 & 0 e & f & g & h x & y & z & w). Mostre que det(lllla & b & 0 & 0 c & d & 0 & 0 e & f & g & h x & y & z & w)=det(lla & b c & d) det(llg & h z & w).
b) Enuncie e demonstre uma generalização para matrizes da forma
A=(cc B & 0 C & D )
em que B in Mn times n(R), D in Mm times m(R) e C in Mm times n(R).

Passo 1

O enunciado trata de matrizes em blocos e pede para mostrar que, no caso especial
temos
Em seguida pede-se a generalização para uma matriz em blocos da forma
com , e .
Vamos usar o desenvolvimento de Laplace (ou o argumento de permutações) para matrizes triangulares em blocos.

Passo 2

Para a parte (a), observe na definição por permutações
det(A) =sumsigmain S4sgn(sigma),A1,sigma(1),A2,sigma(2),A3,sigma(3),A4,sigma(4)
Como os quatro primeiros elementos de cada termo vêm um de cada linha, sempre que algum Ai,sigma(i) cair em um dos zeros da posição (1,3),(1,4),(2,3),(2,4), o termo anula. Logo, as únicas permutações que contribuem são as que mandam 1,2 em 1,2 e 3,4 em 3,4.

Passo 3

Essas permutações se decompõem em uma permutação de e uma permutação de . A cada associa-se um sinal e o produto dos elementos de , e a cada associa-se e o produto dos elementos de . Portanto

Passo 4

Mas as somas internas são exatamente e . Logo concluímos

Passo 5

Para a parte (b), enunciamos a generalização:
Se
com , e , então
A prova segue o mesmo raciocínio: ao expandir por permutações em , qualquer termo que use um elemento do bloco zero anula, restando apenas permutações que permutam as primeiras linhas nas primeiras colunas e as últimas linhas nas últimas colunas. Isso se separa num produto de dois determinantes, um de tamanho e outro de tamanho .

Resposta

a)
b) Se , então

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