Seja , com . é uma função ímpar? Existe alguma condição que temos que impor para que exista alguma função ímpar tal que se ? Se sim, diga qual a condição e construa um exemplo de tal função ímpar. Dica: Use o exercício 32.
Passo 1
O enunciado dá uma função com e pede: existe uma função ímpar definida num domínio simétrico a zero tal que, para todo , tenhamos ? Vamos usar o conceito de extensão ímpar.
Passo 2
Lembrando, uma função é ímpar se, para todo em seu domínio,
Em particular, tomando vemos que
Como queremos que , é necessário que
Logo, a condição para existir extensão ímpar é
Passo 3
Supondo
que é simétrico em torno de zero. Agora construímos por partes:
Verifique facilmente que em e que .
Passo 4
Vamos exemplificar. Tome
Então
ou seja de forma compacta
Claramente retorna .
Resposta
A condição necessária e suficiente é f(0)=0.
Por exemplo, para f(x)=x^2 em [0,infty), a extensão ímpar em D(g)=R é
g(x)=xlvert xrvert,
que satisfaz g(0)=0, g(-x)=-g(x) e forall x>=0colon g(x)=f(x).