Seja f: D(f) subset[0, infty) R, com 0 in D(f). f é uma função ímpar? Existe alguma condição que temos que impor para que exista alguma função ímpar g tal que se x in D(f), f(x)=g(x) ? Se sim, diga qual a condição e construa um exemplo de tal função ímpar. Dica: Use o exercício 32.

Passo 1

O enunciado dá uma função fcolon D(f)subset[0,infty)toR com 0in D(f) e pede: existe uma função ímpar g definida num domínio simétrico a zero tal que, para todo xin D(f), tenhamos g(x)=f(x)? Vamos usar o conceito de extensão ímpar.

Passo 2

Lembrando, uma função g é ímpar se, para todo x em seu domínio,
g(-x) = -,g(x)
Em particular, tomando x=0 vemos que
g(0)= -,g(0)Longrightarrow g(0)=0
Como queremos que g(0)=f(0), é necessário que
f(0)=0
Logo, a condição para existir extensão ímpar é
boxedf(0)=0

Passo 3

Supondo
que é simétrico em torno de zero. Agora construímos por partes:
Verifique facilmente que em e que .

Passo 4

Vamos exemplificar. Tome
Então
ou seja de forma compacta
Claramente retorna .

Resposta

A condição necessária e suficiente é f(0)=0.
Por exemplo, para f(x)=x^2 em [0,infty), a extensão ímpar em D(g)=R é
g(x)=xlvert xrvert,
que satisfaz g(0)=0, g(-x)=-g(x) e forall x>=0colon g(x)=f(x).

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