Pelo método de variávies separávies resolver o seguinte sistema de equações diferencias parciais.
Passo 1
Neste exercício vamos resolver a equação de Laplace uxx + uyy = 0 num retângulo 0 com condições de contorno u(x,0)=f(x), u(x,b)=0, u(0,y)=0 e u(a,y)=0. Vamos usar o método de separação de variáveis e séries de Fourier para achar a solução.
Passo 2
Assumimos a forma separada u(x,y)=X(x)Y(y). Substituindo na PDE obtemos
X''(x)X(x) + Y''(y)Y(y) = 0
Como cada termo depende de variável distinta, definimos a constante de separação lambda e chegamos às EDOs X''(x) + lambda X(x) = 0 e Y''(y) - lambda Y(y) = 0.
Passo 3
As condições de contorno u(0,y)=0 e u(a,y)=0 implicam X(0)=X(a)=0. A EDO X'' + lambda X=0 só admite solução não trivial quando lambdan=(npi/a)^2, com autofunções
Xn(x)=sinl(npi xar), n=1,2,dots
.
Passo 4
Para lambdan=(npi/a)^2, a equação em y é Y''(y)- (npi/a)^2 Y(y)=0, cuja solução geral é
Yn(y)=An e^npi y/a+Bn e^-npi y/a
Impondo Yn(b)=0 e escolhendo uma forma regular, obtemos