Pelo método de variávies separávies resolver o seguinte sistema de equações diferencias parciais.
l uy y+ux x=0, 0 <= x <= a, 0 <= y <= b u(x, 0)=f(x), u(x, b)=0, 0

Passo 1

Neste exercício vamos resolver a equação de Laplace uxx + uyy = 0 num retângulo 0 com condições de contorno u(x,0)=f(x), u(x,b)=0, u(0,y)=0 e u(a,y)=0. Vamos usar o método de separação de variáveis e séries de Fourier para achar a solução.

Passo 2

Assumimos a forma separada u(x,y)=X(x)Y(y). Substituindo na PDE obtemos
X''(x)X(x) + Y''(y)Y(y) = 0
Como cada termo depende de variável distinta, definimos a constante de separação lambda e chegamos às EDOs X''(x) + lambda X(x) = 0 e Y''(y) - lambda Y(y) = 0.

Passo 3

As condições de contorno u(0,y)=0 e u(a,y)=0 implicam X(0)=X(a)=0. A EDO X'' + lambda X=0 só admite solução não trivial quando lambdan=(npi/a)^2, com autofunções
Xn(x)=sinl(npi xar), n=1,2,dots
.

Passo 4

Para lambdan=(npi/a)^2, a equação em y é Y''(y)- (npi/a)^2 Y(y)=0, cuja solução geral é
Yn(y)=An e^npi y/a+Bn e^-npi y/a
Impondo Yn(b)=0 e escolhendo uma forma regular, obtemos
Yn(y)=sinhl(npi(b-y)ar)
.

Passo 5

A solução geral por superposição fica
u(x,y)=sumn=1^infty Cn sinl(npi xar)sinhl(npi(b-y)ar)
Aplicando u(x,0)=f(x) resulta na expansão de Fourier seno
f(x)=sumn=1^infty Cn sinhl(npi bar)sinl(npi xar)
.

Passo 6

Comparando com a fórmula dos coeficientes de Fourier, obtemos
Cn=2asinh(npi ba)integral0^a f(s)sinl(npi sar),ds
.

Resposta

u(x,y)=sumn=1^infty 2a l(integral0^a f(s)sinl(npi sar),dsr) sinhl(npi(b-y)ar)sinhl(npi bar) sinl(npi xar)

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