Seja F o campo vetorial definido por
F(x, y)=(y cos x, sen x+e^y)
(b) Calcule a integral integralC F cdot dr, onde C é uma curva plana ligando o ponto (0,1) ao ponto (0,0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um campo vetorial definido por F(x, y) = (y cos x, sin x + e^y). A pergunta é para calcular a integral de linha integralC F cdot dr, onde C é uma curva que liga o ponto (0,1) ao ponto (0,0).
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma integral de linha de um campo vetorial e verificar se esse campo é conservativo. Se for conservativo, podemos achar uma função potencial e calcular a diferença dos valores dessa função nos pontos finais. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se o campo vetorial F é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existir uma função potencial $ \phi(x, y) $ tal que phi(x, y) , ou seja, F = nabla phi.
Mas para que F(x, y) = (partial phipartial x, partial phipartial y) seja conservativo em um domínio simplesmente conexo, ele precisa satisfazer a condição de igualdade das derivadas cruzadas:
F
onde $ F_1 = y \cos x $ e $ F_2 = \sin x + e^{y} $.
Vamos calcular essas derivadas parciais.

Passo 3

Calculando partial F1partial y:
partialpartial y(y cos x) = cos x
Agora, calculando partial F2partial x:
partialpartial x(sin x + e^y) = cos x
Vemos que partial F1partial y = partial F2partial x = cos x, então o campo F é conservativo.

Passo 4

Como o campo é conservativo, existe uma função potencial $ \phi(x, y) $ tal que:
phi(x, y)
Integrando em relação a $ x $:
partial phipartial x = F1 = y cos x
onde $ g(y) $ é uma função de $ y $ que pode depender apenas de $ y $.

Passo 5

Agora, usamos a segunda componente do campo vetorial para encontrar $ g(y) $:
g(y)
Igualando as expressões:
partial phipartial y = sin x + dgdy = F2 = sin x + e^y
Subtraindo $ \sin x $ de ambos os lados:
sin x + dgdy = sin x + e^y
Integrando em relação a $ y $:
sin x
Como $ C $ é uma constante, podemos absorvê-la na função potencial sem problemas.

Passo 6

Então, a função potencial $ \phi(x, y) $ é:
phi(x, y)

Passo 7

Agora, para calcular a integral de linha integralC F cdot dr, basta calcular a diferença da função potencial nos pontos finais da curva $ C $:
C

Passo 8

Calculando $ \phi(0, 0) $:
phi(0, 0)
Calculando $ \phi(0, 1) $:
phi(0, 0) = 0 cdot sin 0 + e^0 = 0 + 1 = 1

Passo 9

Finalmente, a integral de linha é:
integralC F cdot dr = 1 - e

Resposta

A integral integralC F cdot dr vale 1 - e.

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