Seja
o campo vetorial definido por
(b) Calcule a integral
, onde
é uma curva plana ligando o ponto
ao ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um campo vetorial definido por
. A pergunta é para calcular a integral de linha
, onde
é uma curva que liga o ponto
ao ponto
.
Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma integral de linha de um campo vetorial e verificar se esse campo é conservativo. Se for conservativo, podemos achar uma função potencial e calcular a diferença dos valores dessa função nos pontos finais. Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se o campo vetorial
é conservativo. Um campo vetorial é conservativo se existir uma função potencial $ \phi(x, y) $ tal que
, ou seja,
.
Mas para que
seja conservativo em um domínio simplesmente conexo, ele precisa satisfazer a condição de igualdade das derivadas cruzadas:
onde $ F_1 = y \cos x $ e $ F_2 = \sin x + e^{y} $.
Vamos calcular essas derivadas parciais.
Passo 3
Calculando
:
Agora, calculando
:
Vemos que
, então o campo
é conservativo.
Passo 4
Como o campo é conservativo, existe uma função potencial $ \phi(x, y) $ tal que:
Integrando em relação a $ x $:
onde $ g(y) $ é uma função de $ y $ que pode depender apenas de $ y $.
Passo 5
Agora, usamos a segunda componente do campo vetorial para encontrar $ g(y) $:
Igualando as expressões:
Subtraindo $ \sin x $ de ambos os lados:
Integrando em relação a $ y $:
Como $ C $ é uma constante, podemos absorvê-la na função potencial sem problemas.
Passo 6
Então, a função potencial $ \phi(x, y) $ é:
Passo 7
Agora, para calcular a integral de linha
, basta calcular a diferença da função potencial nos pontos finais da curva $ C $:
Passo 8
Calculando $ \phi(0, 0) $:
Calculando $ \phi(0, 1) $:
Passo 9
Finalmente, a integral de linha é:
Resposta
A integral
vale
.