Métodos dos coeficientes a determinar
y^{\prime \prime \prime}+4 y^{\prime \prime}+9 y^{\prime}+10 y=-e^{x}
Resp.: y=C_{1} e^{-2 x}+C_{2} e^{-x} \cos 2 x+C_{3} e^{-x} \sin 2 x-\frac{1}{24} e^{x}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de coeficientes constantes de terceira ordem e pede resolver por método dos coeficientes a determinar:
y^{\prime\prime\prime}+4y^{\prime\prime}+9y^{\prime}+10y=-e^{x}.
Informações relevantes: termo não-homogêneo é -e^{x}. Precisamos encontrar a solução geral y(x), que é soma da solução geral da homogênea e de uma solução particular da não-homogênea.

Passo 2

Vamos primeiro achar a solução da equação homogênea associada. A equação homogênea é
y^{\prime\prime\prime}+4y^{\prime\prime}+9y^{\prime}+10y=0.
Para resolver, fazemos a substituição padrão y=e^{rx} e obtemos o polinômio característico:
r^{3}+4r^{2}+9r+10=0.
Testando raízes inteiras simples, verifiquei que r=-2 é raiz porque
(-2)^{3}+4(-2)^{2}+9(-2)+10=-8+16-18+10=0.
Como r=-2 é raiz, dividimos o polinômio por (r+2). A divisão dá o quociente
r^{2}+2r+5,
portanto
r^{3}+4r^{2}+9r+10=(r+2)(r^{2}+2r+5).
Agora resolvemos r^{2}+2r+5=0. Usando a fórmula de Bhaskara,
r=\frac{-2\pm\sqrt{4-20}}{2}=\frac{-2\pm\sqrt{-16}}{2}=-1\pm 2i.
Essas raízes complexas conjuntas -1\pm 2i geram termos do tipo e^{ax}\cos(bx) e e^{ax}\sin(bx) com a=-1 e b=2. Assim a solução geral da homogênea é
y_{h}(x)=C_{1}e^{-2x}+C_{2}e^{-x}\cos(2x)+C_{3}e^{-x}\sin(2x),
onde C_{1},C_{2},C_{3} são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora vamos ao método dos coeficientes a determinar para encontrar uma solução particular y_{p} da equação completa. O termo não-homogêneo é -e^{x}, que é uma função exponencial do tipo e^{\alpha x} com \alpha=1. A regra do método diz: se o lado direito for P(x)e^{\alpha x} (aqui P(x) é polinômio constante -1), devemos tentar uma solução particular do tipo x^{s}Q(x)e^{\alpha x}, onde Q(x) é polinômio do mesmo grau de P e s é o multiplicador por conta de ressonância. O multiplicador s é o menor inteiro não negativo tal que \alpha não seja raiz do polinômio característico com multiplicidade maior que s.
Aqui \alpha=1. Precisamos verificar se r=1 é raiz do característico. Das raízes encontradas -2 e -1\pm 2i, nenhuma é 1. Logo não há ressonância e s=0.
Portanto tomamos a tentativa mais simples:
y_{p}(x)=A e^{x},
onde A é uma constante a determinar. (Se tivesse ressonância com multiplicidade m usaríamos x^{m} multiplicando.)

Passo 4

Calcule as derivadas de y_{p} e substitua na equação. Como y_{p}=A e^{x}, temos
y_{p}^{\prime}=A e^{x},\qquad y_{p}^{\prime\prime}=A e^{x},\qquad y_{p}^{\prime\prime\prime}=A e^{x}.
Substituindo no lado esquerdo da EDO:
y_{p}^{\prime\prime\prime}+4y_{p}^{\prime\prime}+9y_{p}^{\prime}+10y_{p} = A e^{x}+4A e^{x}+9A e^{x}+10A e^{x}.
Somando os coeficientes:
A e^{x}(1+4+9+10)=A e^{x}\cdot 24.
Isso deve ser igual ao lado direito da equação, que é -e^{x}. Logo
24A e^{x}=-e^{x}.
Como e^{x} nunca é zero, podemos cancelar e obter
24A=-1\quad\Rightarrow\quad A=-\frac{1}{24}.
Portanto a solução particular é
y_{p}(x)=-\frac{1}{24}e^{x}.

Passo 5

A solução geral da equação não-homogênea é a soma da solução homogênea com a solução particular. Assim
y(x)=y_{h}(x)+y_{p}(x) = C_{1}e^{-2x}+C_{2}e^{-x}\cos(2x)+C_{3}e^{-x}\sin(2x)-\frac{1}{24}e^{x},
com C_{1},C_{2},C_{3} constantes arbitrárias.

Resposta

y=C_{1}e^{-2x}+C_{2}e^{-x}\cos(2x)+C_{3}e^{-x}\sin(2x)-\dfrac{1}{24}e^{x}

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