Métodos dos coeficientes a determinar
Resp.:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear de coeficientes constantes de terceira ordem e pede resolver por método dos coeficientes a determinar:
Informações relevantes: termo não-homogêneo é
. Precisamos encontrar a solução geral
, que é soma da solução geral da homogênea e de uma solução particular da não-homogênea.
Passo 2
Vamos primeiro achar a solução da equação homogênea associada. A equação homogênea é
Para resolver, fazemos a substituição padrão
e obtemos o polinômio característico:
Testando raízes inteiras simples, verifiquei que
é raiz porque
Como
é raiz, dividimos o polinômio por
. A divisão dá o quociente
portanto
Agora resolvemos
. Usando a fórmula de Bhaskara,
Essas raízes complexas conjuntas
geram termos do tipo
e
com
e
. Assim a solução geral da homogênea é
onde
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora vamos ao método dos coeficientes a determinar para encontrar uma solução particular
da equação completa. O termo não-homogêneo é
, que é uma função exponencial do tipo
com
. A regra do método diz: se o lado direito for
(aqui
é polinômio constante
), devemos tentar uma solução particular do tipo
, onde
é polinômio do mesmo grau de
e
é o multiplicador por conta de ressonância. O multiplicador
é o menor inteiro não negativo tal que
não seja raiz do polinômio característico com multiplicidade maior que
.
Aqui . Precisamos verificar se
é raiz do característico. Das raízes encontradas
e
, nenhuma é
. Logo não há ressonância e
.
Portanto tomamos a tentativa mais simples:
Aqui
Portanto tomamos a tentativa mais simples:
onde
é uma constante a determinar. (Se tivesse ressonância com multiplicidade
usaríamos
multiplicando.)
Passo 4
Calcule as derivadas de
e substitua na equação. Como
, temos
Substituindo no lado esquerdo da EDO:
Somando os coeficientes:
Isso deve ser igual ao lado direito da equação, que é
. Logo
Como
nunca é zero, podemos cancelar e obter
Portanto a solução particular é
Passo 5
A solução geral da equação não-homogênea é a soma da solução homogênea com a solução particular. Assim
com
constantes arbitrárias.