Questão 4 (1,0 ponto)

Escreva a equação da reta tangente à função f(x)=x^{17} no ponto (1,1).

Passo 1

O enunciado pede: "Escreva a equação da reta tangente à função \,f(x)=x^{17}\, no ponto \,(1,1)\,".
Informações dadas:
  • A função é \,f(x)=x^{17}\,.
  • O ponto onde queremos a tangente é \,(1,1)\,.
    Pergunta a responder: qual é a equação da reta tangente a \,f\, em \,x=1\,?

Passo 2

Ideia para resolver (explicação didática): a reta tangente em um ponto tem inclinação igual à derivada da função naquele ponto. A derivada em \,a\, é, por definição, o limite da inclinação das secantes quando o segundo ponto se aproxima de \,a:
f'(a)=\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}
Isto significa que para achar a inclinação da tangente em \,x=1\, devemos calcular \,f'(1)\,.

Passo 3

Fórmula prática que usamos (e por que ela funciona): para potências inteiras positivas existe a regra do expoente (regra de potência)
\text{se }f(x)=x^{n}\text{ então }f'(x)=n x^{n-1}.ã
Uma justificativa rápida usando o Teorema do Binômio: para n inteiro positivo,
(a+h)^n = a^n + n a^{\,n-1}h + \binom{n}{2}a^{\,n-2}h^2+\dots+h^n.
Subtraindo a^n, dividindo por h e fazendo h\to0, todos os termos com h vão a zero, sobrando apenas n a^{\,n-1}. Por isso a regra vale.

Passo 4

Aplicando a regra de potência à nossa função \,f(x)=x^{17}\, obtemos
f'(x)=17x^{16}.
Agora avaliamos em \,x=1\,:
f'(1)=17\cdot 1^{16}=17.
Também confirmamos o valor de f no ponto: f(1)=1^{17}=1. Assim a inclinação da tangente em (1,1) é \,m=17\,.

Passo 5

Equação da reta tangente usando a forma ponto-inclinação:
y-y_{0}=m(x-x_{0}).
Substituindo \,x_{0}=1, \,y_{0}=1 e \,m=17\, temos
y-1=17(x-1).
Desenvolvendo e isolando y:
y-1=17x-17
y=17x-16.

Passo 6

Resumo final e checagem rápida: a reta encontrada tem inclinação 17 e passa por (1,1), portanto é de fato a tangente procurada. Força aí — você já tem a técnica: derivada para a inclinação e ponto-inclinação para a reta!

Resposta

y=17x-16

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