Questão 4 (1,0 ponto)
Escreva a equação da reta tangente à função
no ponto
.
Passo 1
O enunciado pede: "Escreva a equação da reta tangente à função
no ponto
".
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função é
. - O ponto onde queremos a tangente é
.
Pergunta a responder: qual é a equação da reta tangente aem ?
Passo 2
Ideia para resolver (explicação didática): a reta tangente em um ponto tem inclinação igual à derivada da função naquele ponto. A derivada em
é, por definição, o limite da inclinação das secantes quando o segundo ponto se aproxima de
:
Isto significa que para achar a inclinação da tangente em
devemos calcular
.
Passo 3
Fórmula prática que usamos (e por que ela funciona): para potências inteiras positivas existe a regra do expoente (regra de potência)
Uma justificativa rápida usando o Teorema do Binômio: para
inteiro positivo,
Subtraindo
, dividindo por
e fazendo
, todos os termos com
vão a zero, sobrando apenas
. Por isso a regra vale.
Passo 4
Aplicando a regra de potência à nossa função
obtemos
Agora avaliamos em
:
Também confirmamos o valor de
no ponto:
. Assim a inclinação da tangente em
é
.
Passo 5
Equação da reta tangente usando a forma ponto-inclinação:
Substituindo
,
e
temos
Desenvolvendo e isolando
:
Passo 6
Resumo final e checagem rápida: a reta encontrada tem inclinação
e passa por
, portanto é de fato a tangente procurada. Força aí — você já tem a técnica: derivada para a inclinação e ponto-inclinação para a reta!