Equações homogêneas com coeficientes constantes
y^{(4)}+6 y^{\prime \prime \prime}+5 y^{\prime \prime}-24 y^{\prime}-36 y=0
Resp.: y=C_{1} e^{2 x}+C_{2} e^{-2 x}+C_{3} e^{-3 x}+C_{4} x e^{-3 x}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial homogênea de ordem quatro
y^{(4)}+6y^{\prime\prime\prime}+5y^{\prime\prime}-24y^{\prime}-36y=0
e pede a solução geral y(x) (ou seja, encontrar a família de soluções com constantes arbitrárias).
Informações relevantes fornecidas:
\text{Equação: } y^{(4)}+6y^{\prime\prime\prime}+5y^{\prime\prime}-24y^{\prime}-36y=0.çã
A resposta esperada apresentada no enunciado é
y=C_{1}e^{2x}+C_{2}e^{-2x}+C_{3}e^{-3x}+C_{4}x e^{-3x}.

Passo 2

Estratégia (explicação do que vamos fazer, sem nomes técnicos): para equações lineares com coeficientes constantes, uma boa tentativa é procurar soluções do tipo y=e^{rx}, porque derivadas de e^{rx} mantêm a mesma forma e isso transforma a equação diferencial numa equação polinomial para r. Vamos fazer essa substituição e obter um polinômio (o chamado polinômio característico).
Se y=e^{rx}, então
y' = r e^{rx},\qquad y'' = r^{2} e^{rx},\qquad y^{(3)}=r^{3} e^{rx},\qquad y^{(4)}=r^{4} e^{rx}.
Substituindo na equação dada e dividindo por e^{rx} (que nunca é zero), obtemos o polinômio
r^{4}+6r^{3}+5r^{2}-24r-36=0.

Passo 3

Agora precisamos resolver o polinômio
r^{4}+6r^{3}+5r^{2}-24r-36=0.
Uma forma prática é procurar raízes racionais inteiras que sejam divisores do termo constante -36: \pm1,\pm2,\pm3,\pm4,\pm6,\pm9,\pm12,\pm18,\pm36. Testamos alguns:
Testando r=2:
2^{4}+6\cdot2^{3}+5\cdot2^{2}-24\cdot2-36=16+48+20-48-36=0.
Logo r=2 é raiz. Isso implica que (r-2) é um fator do polinômio.

Passo 4

Dividimos o polinômio por (r-2) para reduzir a ordem. Fazemos divisão sintética com os coeficientes 1,6,5,-24,-36 e r=2:
  • Trazer 1.
  • 1\cdot 2=2; 6+2=8.
  • 8\cdot 2=16; 5+16=21.
  • 21\cdot 2=42; -24+42=18.
  • 18\cdot 2=36; -36+36=0.
O resto é zero; o quociente é o polinômio cúbico
r^{3}+8r^{2}+21r+18.
Portanto
r^{4}+6r^{3}+5r^{2}-24r-36=(r-2)\bigl(r^{3}+8r^{2}+21r+18\bigr).

Passo 5

Agora fatoramos o cúbico \,r^{3}+8r^{2}+21r+18. Testamos r=-3:
(-3)^{3}+8(-3)^{2}+21(-3)+18=-27+72-63+18=0,
portanto r=-3 é raiz e (r+3) é fator. Dividimos o cúbico por (r+3) usando divisão sintética com coeficientes 1,8,21,18 e r=-3:
  • Trazer 1.
  • 1\cdot(-3)=-3; 8-3=5.
  • 5\cdot(-3)=-15; 21-15=6.
  • 6\cdot(-3)=-18; 18-18=0.
O quociente é r^{2}+5r+6. Então
r^{3}+8r^{2}+21r+18=(r+3)(r^{2}+5r+6).

Passo 6

O quadrático r^{2}+5r+6 fatora facilmente:
r^{2}+5r+6=(r+2)(r+3).
Reunindo tudo, o polinômio característico fica
r^{4}+6r^{3}+5r^{2}-24r-36=(r-2)(r+2)(r+3)^{2}.
Logo as raízes (valores de r) são r=2, r=-2 e r=-3 com multiplicidade 2 (ou seja, raiz dupla).

Passo 7

Agora lembramos a regra para construir a solução geral a partir das raízes do polinômio característico:
  • Para cada raiz simples r=a aparece um termo C e^{ax}.
  • Para uma raiz de multiplicidade m (por exemplo r=b com multiplicidade 2), aparecem m termos lineares independentes do tipo e^{bx},\; x e^{bx},\; x^{2} e^{bx}, até x^{m-1} e^{bx}.
Aplicando isso às raízes que encontramos:
  • r=2 simples → termo C_{1}e^{2x}.
  • r=-2 simples → termo C_{2}e^{-2x}.
  • r=-3 dupla → termos C_{3}e^{-3x} e C_{4}x e^{-3x}.

Passo 8

Juntando todos os termos independentes, a solução geral da equação diferencial é
y(x)=C_{1}e^{2x}+C_{2}e^{-2x}+C_{3}e^{-3x}+C_{4}x e^{-3x},
onde C_{1},C_{2},C_{3},C_{4} são constantes arbitrárias (determinação dessas constantes ocorreria se tivéssemos condições iniciais).

Resposta

y=C_{1}e^{2x}+C_{2}e^{-2x}+C_{3}e^{-3x}+C_{4}x e^{-3x}

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