Equações homogêneas com coeficientes constantes
Resp.:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial homogênea de ordem quatro
e pede a solução geral
(ou seja, encontrar a família de soluções com constantes arbitrárias).
Informações relevantes fornecidas:
A resposta esperada apresentada no enunciado é
Passo 2
Estratégia (explicação do que vamos fazer, sem nomes técnicos): para equações lineares com coeficientes constantes, uma boa tentativa é procurar soluções do tipo
, porque derivadas de
mantêm a mesma forma e isso transforma a equação diferencial numa equação polinomial para
. Vamos fazer essa substituição e obter um polinômio (o chamado polinômio característico).
Se
, então
Substituindo na equação dada e dividindo por
(que nunca é zero), obtemos o polinômio
Passo 3
Agora precisamos resolver o polinômio
Uma forma prática é procurar raízes racionais inteiras que sejam divisores do termo constante
:
. Testamos alguns:
Testando
:
Logo
é raiz. Isso implica que
é um fator do polinômio.
Passo 4
Dividimos o polinômio por
para reduzir a ordem. Fazemos divisão sintética com os coeficientes
e
:
- Trazer
. -
; . -
; . -
; . -
; .
O resto é zero; o quociente é o polinômio cúbico
Portanto
Passo 5
Agora fatoramos o cúbico
. Testamos
:
portanto
é raiz e
é fator. Dividimos o cúbico por
usando divisão sintética com coeficientes
e
:
- Trazer
. -
; . -
; . -
; .
O quociente é
. Então
Passo 6
O quadrático
fatora facilmente:
Reunindo tudo, o polinômio característico fica
Logo as raízes (valores de
) são
,
e
com multiplicidade
(ou seja, raiz dupla).
Passo 7
Agora lembramos a regra para construir a solução geral a partir das raízes do polinômio característico:
- Para cada raiz simples
aparece um termo . - Para uma raiz de multiplicidade
(por exemplo com multiplicidade ), aparecem termos lineares independentes do tipo até .
Aplicando isso às raízes que encontramos:
-
simples → termo . -
simples → termo . -
dupla → termos e .
Passo 8
Juntando todos os termos independentes, a solução geral da equação diferencial é
onde
são constantes arbitrárias (determinação dessas constantes ocorreria se tivéssemos condições iniciais).