Questão 5 (1,0 ponto)

Suponha que f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} é uma função derivàvel com a seguinte propriedade f(-x)=f(x), \forall x: \in \mathbb{R}. Mostre que sua derivada tem a seguinte ployriedade: f^{\prime}(-x)=-f^{\prime}(x), \forall x \in \mathbb{R}

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa.
  • Dado: f: \mathbb{R}\to\mathbb{R} é diferenciável e satisfaz \;f(-x)=f(x)\; para todo x\in\mathbb{R}.
  • Pedido: Mostrar que \;f'(-x)=-f'(x)\; para todo x\in\mathbb{R}.

Passo 2

Relembre (com calma) o que significa derivada no sentido de limite. Se f é diferenciável em um ponto a, a derivada f'(a) é definida por
f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.
Aqui h é um pequeno incremento na variável: a expressão dentro do limite é o quociente incremental, e o limite (se existir) é a taxa instantânea de variação de f em a. Isso é tudo que vamos precisar formalmente.

Passo 3

Também lembre o que significa a condição dada \;f(-x)=f(x)\;: isso quer dizer que f é uma função par (sim, é o mesmo termo usado nas aulas). Exemplos simples: \cos x e x^2 são pares porque valem o mesmo em x e em -x.

Passo 4

Vamos escrever a derivada de f em -x usando a definição por limite. Para qualquer x\in\mathbb{R},
f'(-x)=\lim_{h\to0}\frac{f(-x+h)-f(-x)}{h}.
Agora substituímos na expressão acima a hipótese f(-t)=f(t) aplicada a t=x-h e a t=x. Observando que f(-x+h)=f(x-h) e f(-x)=f(x), obtemos
f'(-x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x-h)-f(x)}{h}.

Passo 5

No limite obtido em cima, faça a mudança de variável k=-h. Explico devagar: quando h\to0, também k\to0. Além disso h=-k e x-h = x + k. Substituindo na fração,
\frac{f(x-h)-f(x)}{h}=\frac{f(x+k)-f(x)}{-k}=-\frac{f(x+k)-f(x)}{k}.
Portanto, tomando limite quando k\to0,
f'(-x)=\lim_{k\to0}\left(-\frac{f(x+k)-f(x)}{k}\right)=-\lim_{k\to0}\frac{f(x+k)-f(x)}{k}.
Pelo definição de derivada a última linha é simplesmente -f'(x). Aqui usei a propriedade de que podemos tirar um fator constante (o -1) para fora do limite.

Passo 6

Concluímos então, para todo x\in\mathbb{R},
f'(-x)=-f'(x).
Ou seja, a derivada de uma função par é uma função ímpar. Se você quiser outra visão (mais curta): diferencie a identidade f(-x)=f(x) aplicando a regra da cadeia ao lado esquerdo — a derivada de f(-x) é f'(-x)\cdot(-1) — e obtemos a mesma relação. Eu usei a definição por limite porque é básico e direto, e funciona sem invocar mais teoremas.

Passo 7

Cheque rápido com um exemplo concreto para fixar a intuição: tome f(x)=x^2 (que é par). Então f'(x)=2x. Verifique f'(-x)=2(-x)=-2x=-f'(x). Funciona direitinho — é exatamente o que provamos de forma geral.

Resposta

\;f'(-x)=-f'(x),\\ \forall x\in\mathbb{R}.

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