Questão 5 (1,0 ponto)
Suponha que
é uma função derivàvel com a seguinte propriedade
. Mostre que sua derivada tem a seguinte ployriedade:
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa.
- Dado:
é diferenciável e satisfaz para todo . - Pedido: Mostrar que
para todo .
Passo 2
Relembre (com calma) o que significa derivada no sentido de limite. Se
é diferenciável em um ponto
, a derivada
é definida por
Aqui
é um pequeno incremento na variável: a expressão dentro do limite é o quociente incremental, e o limite (se existir) é a taxa instantânea de variação de
em
. Isso é tudo que vamos precisar formalmente.
Passo 3
Também lembre o que significa a condição dada
: isso quer dizer que
é uma função par (sim, é o mesmo termo usado nas aulas). Exemplos simples:
e
são pares porque valem o mesmo em
e em
.
Passo 4
Vamos escrever a derivada de
em
usando a definição por limite. Para qualquer
,
Agora substituímos na expressão acima a hipótese
aplicada a
e a
. Observando que
e
, obtemos
Passo 5
No limite obtido em cima, faça a mudança de variável
. Explico devagar: quando
, também
. Além disso
e
. Substituindo na fração,
Portanto, tomando limite quando
,
Pelo definição de derivada a última linha é simplesmente
. Aqui usei a propriedade de que podemos tirar um fator constante (o
) para fora do limite.
Passo 6
Concluímos então, para todo
,
Ou seja, a derivada de uma função par é uma função ímpar. Se você quiser outra visão (mais curta): diferencie a identidade
aplicando a regra da cadeia ao lado esquerdo — a derivada de
é
— e obtemos a mesma relação. Eu usei a definição por limite porque é básico e direto, e funciona sem invocar mais teoremas.
Passo 7
Cheque rápido com um exemplo concreto para fixar a intuição: tome
(que é par). Então
. Verifique
. Funciona direitinho — é exatamente o que provamos de forma geral.