Métodos da variação dos parâmetros
Resp.:
Passo 1
Temos a equação diferencial dada
O que o enunciado pede: encontrar a solução geral
(ou seja, a solução complementar mais uma solução particular). Informações relevantes fornecidas:
Não há condições iniciais; então procuramos a solução geral com três constantes arbitrárias
.
Passo 2
Primeiro achamos a solução geral da equação homogênea associada
Formamos o polinômio característico:
As raízes são
(multiplicidade
) e
(multiplicidade
). Da teoria das equações lineares, as soluções fundamentais associadas são
Logo a solução complementar (homogênea) é
Passo 3
Agora usamos o método da variação dos parâmetros para obter uma solução particular. A ideia: procurar
onde
são funções a determinar. Para simplificar, impomos as três condições padrão (estoque de incógnitas reduzido):
onde
é o termo do lado direito da equação dividida pelo coeficiente líder (aqui é
). Explicação rápida: essas condições eliminam as derivadas
quando substituímos
na equação original, deixando um sistema linear de primeira ordem para
.
Passo 4
Calculemos derivadas das funções fundamentais:
Substituindo essas derivadas nas três equações do sistema obtemos:
Passo 5
Da equação (iii) isolamos
:
Integramos para obter
. Fazemos a integral detalhadamente (integração por partes para o termo com
):
Calculemos separadamente:
Para
, use integração por partes com
,
. Então
,
. Logo
Somando os termos:
Podemos escrever de forma compacta:
Observação: constantes de integração aqui podem ser tomadas zero porque contribuições constantes multiplicando as soluções fundamentais seriam absorvidas na solução homogênea.
Passo 6
Use agora a equação (ii) para achar
:
Como já temos
, calcule
Logo
Integramos:
Novamente desprezamos a constante de integração por ser incorporada em
.
Passo 7
Agora use (i) para obter
:
Substituímos
e
. Calculamos os termos:
Substituindo em (i):
Integramos:
(A constante de integração é tomada zero pelo mesmo motivo anterior.)
Passo 8
Montamos a solução particular
Substituindo:
Simplificamos termo a termo:
Somando todos:
Agrupando termos semelhantes:
constante:
.
Portanto
Portanto
Passo 9
A solução geral é a soma da complementar com a particular: