Métodos da variação dos parâmetros
y^{\prime \prime \prime}-2 y^{\prime \prime}=4(x+1)
Resp.: y=C_{1}+C_{2} x+C_{3} e^{2 x}-\left(\frac{1}{3} x^{3}+\frac{3}{2} x^{2}+\frac{3}{2} x+\frac{3}{4}\right)

Passo 1

Temos a equação diferencial dada
y^{\prime\prime\prime}-2y^{\prime\prime}=4(x+1).
O que o enunciado pede: encontrar a solução geral y(x) (ou seja, a solução complementar mais uma solução particular). Informações relevantes fornecidas:
\text{equação linear de terceira ordem, coeficientes constantes, termo não-homogêneo }4(x+1).çããê
Não há condições iniciais; então procuramos a solução geral com três constantes arbitrárias C_{1},C_{2},C_{3}.

Passo 2

Primeiro achamos a solução geral da equação homogênea associada
y^{\prime\prime\prime}-2y^{\prime\prime}=0.
Formamos o polinômio característico:
r^{3}-2r^{2}=r^{2}(r-2)=0.
As raízes são r=0 (multiplicidade 2) e r=2 (multiplicidade 1). Da teoria das equações lineares, as soluções fundamentais associadas são
y_{1}(x)=1,\qquad y_{2}(x)=x,\qquad y_{3}(x)=e^{2x}.
Logo a solução complementar (homogênea) é
y_{c}(x)=C_{1}+C_{2}x+C_{3}e^{2x}.

Passo 3

Agora usamos o método da variação dos parâmetros para obter uma solução particular. A ideia: procurar
y_{p}(x)=u_{1}(x)y_{1}(x)+u_{2}(x)y_{2}(x)+u_{3}(x)y_{3}(x),
onde u_{1},u_{2},u_{3} são funções a determinar. Para simplificar, impomos as três condições padrão (estoque de incógnitas reduzido):
u_{1}'y_{1}+u_{2}'y_{2}+u_{3}'y_{3}=0,
u_{1}'y_{1}'+u_{2}'y_{2}'+u_{3}'y_{3}'=0,
u_{1}'y_{1}''+u_{2}'y_{2}''+u_{3}'y_{3}''=g(x),
onde g(x) é o termo do lado direito da equação dividida pelo coeficiente líder (aqui é g(x)=4(x+1)). Explicação rápida: essas condições eliminam as derivadas u_i'' quando substituímos y_p na equação original, deixando um sistema linear de primeira ordem para u_i'.

Passo 4

Calculemos derivadas das funções fundamentais:
y_{1}=1,\; y_{1}'=0,\; y_{1}''=0,
y_{2}=x,\; y_{2}'=1,\; y_{2}''=0,
y_{3}=e^{2x},\; y_{3}'=2e^{2x},\; y_{3}''=4e^{2x}.
Substituindo essas derivadas nas três equações do sistema obtemos:
\text{(i)}\quad u_{1}'+x\,u_{2}'+e^{2x}u_{3}'=0,
\text{(ii)}\quad 0\cdot u_{1}'+1\cdot u_{2}'+2e^{2x}u_{3}'=0 \quad\Rightarrow\quad u_{2}'+2e^{2x}u_{3}'=0,
\text{(iii)}\quad 0\cdot u_{1}'+0\cdot u_{2}'+4e^{2x}u_{3}'=4(x+1).

Passo 5

Da equação (iii) isolamos u_{3}':
4e^{2x}u_{3}'=4(x+1)\quad\Rightarrow\quad u_{3}'=\frac{x+1}{e^{2x}}=(x+1)e^{-2x}.
Integramos para obter u_{3}. Fazemos a integral detalhadamente (integração por partes para o termo com x):
u_{3}=\int (x+1)e^{-2x}\,dx = \int x e^{-2x}\,dx + \int e^{-2x}\,dx.
Calculemos separadamente:
\int e^{-2x}\,dx = -\tfrac{1}{2}e^{-2x}.
Para \int x e^{-2x}\,dx, use integração por partes com u=x, dv=e^{-2x}dx. Então du=dx, v=-\tfrac{1}{2}e^{-2x}. Logo
\int x e^{-2x}\,dx = -\tfrac{1}{2}x e^{-2x} + \tfrac{1}{2}\int e^{-2x}\,dx = -\tfrac{1}{2}x e^{-2x} + \tfrac{1}{2}\left(-\tfrac{1}{2}e^{-2x}\right).
Somando os termos:
u_{3} = -\tfrac{1}{2}x e^{-2x} -\tfrac{1}{4}e^{-2x} -\tfrac{1}{2}e^{-2x} = -\tfrac{1}{2}x e^{-2x} -\tfrac{3}{4}e^{-2x}.
Podemos escrever de forma compacta:
u_{3}(x)=-\Bigl(\tfrac{1}{2}x+\tfrac{3}{4}\Bigr)e^{-2x}.
Observação: constantes de integração aqui podem ser tomadas zero porque contribuições constantes multiplicando as soluções fundamentais seriam absorvidas na solução homogênea.

Passo 6

Use agora a equação (ii) para achar u_{2}':
u_{2}'+2e^{2x}u_{3}'=0.
Como já temos u_{3}'=(x+1)e^{-2x}, calcule
2e^{2x}u_{3}'=2e^{2x}\cdot (x+1)e^{-2x}=2(x+1).
Logo
u_{2}'=-2(x+1).
Integramos:
u_{2}=\int -2(x+1)\,dx = -2\left(\tfrac{x^{2}}{2}+x\right) = -x^{2}-2x.
Novamente desprezamos a constante de integração por ser incorporada em y_{c}.

Passo 7

Agora use (i) para obter u_{1}':
u_{1}'+x\,u_{2}'+e^{2x}u_{3}'=0.
Substituímos u_{2}'=-2(x+1) e u_{3}'=(x+1)e^{-2x}. Calculamos os termos:
x\,u_{2}'=x\cdot[-2(x+1)]=-2x^{2}-2x,
e^{2x}u_{3}'=e^{2x}\cdot (x+1)e^{-2x}=x+1.
Substituindo em (i):
u_{1}' -2x^{2}-2x + x +1 =0 \quad\Rightarrow\quad u_{1}'=2x^{2}+x-1.
Integramos:
u_{1}=\int (2x^{2}+x-1)\,dx = \tfrac{2}{3}x^{3}+\tfrac{1}{2}x^{2}-x.
(A constante de integração é tomada zero pelo mesmo motivo anterior.)

Passo 8

Montamos a solução particular
y_{p}=u_{1}y_{1}+u_{2}y_{2}+u_{3}y_{3}.
Substituindo:
y_{p}=\Bigl(\tfrac{2}{3}x^{3}+\tfrac{1}{2}x^{2}-x\Bigr)\cdot 1 + (-x^{2}-2x)\cdot x + \Bigl(-\bigl(\tfrac{1}{2}x+\tfrac{3}{4}\bigr)e^{-2x}\Bigr)\cdot e^{2x}.
Simplificamos termo a termo:
(-x^{2}-2x)\cdot x = -x^{3}-2x^{2},
-\bigl(\tfrac{1}{2}x+\tfrac{3}{4}\bigr)e^{-2x}\cdot e^{2x} = -\bigl(\tfrac{1}{2}x+\tfrac{3}{4}\bigr).
Somando todos:
y_{p} = \tfrac{2}{3}x^{3}+\tfrac{1}{2}x^{2}-x -x^{3}-2x^{2} -\tfrac{1}{2}x -\tfrac{3}{4}.
Agrupando termos semelhantes:
x^{3}:\\ \tfrac{2}{3}-1 = -\tfrac{1}{3}\quad\Rightarrow\quad -\tfrac{1}{3}x^{3},
x^{2}:\\ \tfrac{1}{2}-2 = -\tfrac{3}{2}\quad\Rightarrow\quad -\tfrac{3}{2}x^{2},
x:\\\ -1-\tfrac{1}{2} = -\tfrac{3}{2}\quad\Rightarrow\quad -\tfrac{3}{2}x,
constante: -\tfrac{3}{4}.
Portanto
y_{p}=-\Bigl(\tfrac{1}{3}x^{3}+\tfrac{3}{2}x^{2}+\tfrac{3}{2}x+\tfrac{3}{4}\Bigr).

Passo 9

A solução geral é a soma da complementar com a particular:
y(x)=y_{c}(x)+y_{p}(x)=C_{1}+C_{2}x+C_{3}e^{2x}-\Bigl(\tfrac{1}{3}x^{3}+\tfrac{3}{2}x^{2}+\tfrac{3}{2}x+\tfrac{3}{4}\Bigr).

Resposta

y=C_{1}+C_{2} x+C_{3} e^{2 x}-\left(\frac{1}{3} x^{3}+\frac{3}{2} x^{2}+\frac{3}{2} x+\frac{3}{4}\right)

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