Métodos da variação dos parâmetros
Resp.:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear de terceira ordem não-homogênea
Pergunta-se a solução geral
dessa equação. Informações relevantes fornecidas:
- Equação linear com coeficientes constantes de ordem 3.
- Termo não-homogêneo é
, ou seja, um polinômio em multiplicado por . - Não há condições iniciais; esperamos obter a solução geral com constantes arbitrárias.
Passo 2
Primeiro passo padrão: achar a solução geral da equação homogênea associada
Construímos a equação característica substituindo
:
Fatorando por agrupamento:
As raízes são
(multiplicidade 2) e
(multiplicidade 1). Logo uma base de soluções fundamentais da homogênea é
Portanto a solução geral da homogênea é
onde
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora precisamos de uma solução particular
da equação completa. Como o termo não-homogêneo é
e
,
já pertencem ao espaço das soluções da homogênea (resonância de ordem 2), a ideia da variação dos parâmetros ou do método dos coeficientes indeterminados sugere procurar uma solução particular da forma
onde
é um polinômio. Pelo princípio da multiplicidade (temos multiplicidade 2 em
) multiplicamos por
o polinômio que normalmente tentaríamos; isso nos leva a escolher
de grau até
. Portanto tome
Vou agora mostrar uma simplificação muito útil: ao colocar
e diferenciar, os termos com
se combinam de forma simples dentro do operador linear.
Passo 4
Calculemos as derivadas de
. Para qualquer função
vale
Aplicando o operador linear
em
obtemos (colocando todos sobre o fator
):
Ou seja, o operador age de forma muito simples quando aplicamos a função
: reduz-se a
multiplicado por
.
Queremos
. Dividindo por
chegamos à equação polinomial
Passo 5
Substituímos
Então
Igualando com
obtemos um sistema de coeficientes (coeficiente de
e termo constante):
Da primeira equação
e
não aparecem na equação (elas estão associadas a soluções da homogênea porque
pertence ao espaço homogêneo), ou seja, podemos escolher
e
arbitrariamente; escolher valores é equivalente a repartir termos entre a parte particular e a parte homogênea. Para obter exatamente a forma fornecida na resposta do enunciado escolhemos
portanto
Assim uma solução particular é
(Se preferirmos, poderíamos tomar
e mover os termos
para a solução homogênea, ajustando as constantes
. Ambos os caminhos dão a mesma solução geral.)]
Passo 6
Juntando a solução homogênea e a particular obtemos a solução geral da equação original. Reorganizando os termos para coincidir com a forma dada no enunciado (colocando
primeiro) temos: