Métodos da variação dos parâmetros
y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime \prime}-y^{\prime}+y=4 x e^{x}
Resp.: y=C_{1} e^{-x}+C_{2} e^{x}+C_{3} x e^{x}+\left(\frac{1}{3} x^{3}-\frac{1}{2} x^{2}+\frac{1}{2} x-\frac{1}{4}\right) e^{x}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de terceira ordem não-homogênea
y^{\prime\prime\prime}-y^{\prime\prime}-y^{\prime}+y=4x e^{x}.
Pergunta-se a solução geral y(x) dessa equação. Informações relevantes fornecidas:
  • Equação linear com coeficientes constantes de ordem 3.
  • Termo não-homogêneo é 4x e^{x}, ou seja, um polinômio em x multiplicado por e^{x}.
  • Não há condições iniciais; esperamos obter a solução geral com constantes arbitrárias.

Passo 2

Primeiro passo padrão: achar a solução geral da equação homogênea associada
y^{\prime\prime\prime}-y^{\prime\prime}-y^{\prime}+y=0.
Construímos a equação característica substituindo y=e^{r x}:
r^{3}-r^{2}-r+1=0.
Fatorando por agrupamento:
r^{2}(r-1)-1(r-1)=(r-1)(r^{2}-1)=(r-1)^{2}(r+1).
As raízes são r=1 (multiplicidade 2) e r=-1 (multiplicidade 1). Logo uma base de soluções fundamentais da homogênea é
y_{1}=e^{x},\qquad y_{2}=x e^{x},\qquad y_{3}=e^{-x}.
Portanto a solução geral da homogênea é
y_{h}=C_{1}e^{x}+C_{2}x e^{x}+C_{3}e^{-x},
onde C_{1},C_{2},C_{3} são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora precisamos de uma solução particular y_{p} da equação completa. Como o termo não-homogêneo é 4x e^{x} e e^{x}, x e^{x} já pertencem ao espaço das soluções da homogênea (resonância de ordem 2), a ideia da variação dos parâmetros ou do método dos coeficientes indeterminados sugere procurar uma solução particular da forma
y_{p}=P(x)e^{x},
onde P(x) é um polinômio. Pelo princípio da multiplicidade (temos multiplicidade 2 em r=1) multiplicamos por x^{2} o polinômio que normalmente tentaríamos; isso nos leva a escolher P de grau até 3. Portanto tome
P(x)=a x^{3}+b x^{2}+c x+d.
Vou agora mostrar uma simplificação muito útil: ao colocar y_{p}=P e^{x} e diferenciar, os termos com P se combinam de forma simples dentro do operador linear.

Passo 4

Calculemos as derivadas de y_{p}=P e^{x}. Para qualquer função P vale
\begin{aligned} y_{p}'&=(P'+P)e^{x},\\\ y_{p}''&=(P''+2P'+P)e^{x},\\\ y_{p}'''&=(P'''+3P''+3P'+P)e^{x}. \end{aligned}
Aplicando o operador linear L[y]=y'''-y''-y'+y em y_{p} obtemos (colocando todos sobre o fator e^{x}):
\begin{aligned} L[y_{p}]&=\bigl(P'''+3P''+3P'+P\bigr) -\bigl(P''+2P'+P\bigr) -\bigl(P'+P\bigr)+P \quad\text{multiplicado por }e^{x}\\[4pt] &=\bigl(P'''+(3P''-P'')+(3P'-2P'-P')+(P-P-P+P)\bigr)e^{x}\\[4pt] &=\bigl(P'''+2P''\bigr)e^{x}. \end{aligned}
Ou seja, o operador age de forma muito simples quando aplicamos a função P(x)e^{x}: reduz-se a P'''+2P'' multiplicado por e^{x}.
Queremos L[y_{p}]=4x e^{x}. Dividindo por e^{x} chegamos à equação polinomial
P'''+2P''=4x.]

Passo 5

Substituímos P(x)=a x^{3}+b x^{2}+c x+d\). Calculemos \(P''\) e \(P'''\): \[\begin{aligned} P'(x)&=3a x^{2}+2b x + c,\\\ P''(x)&=6a x + 2b,\\\ P'''(x)&=6a. \end{aligned}
Então
P'''+2P''=6a + 2(6a x + 2b)=12a x + (6a+4b).
Igualando com 4x obtemos um sistema de coeficientes (coeficiente de x e termo constante):
\begin{cases} 12a = 4,\\[4pt] 6a+4b = 0. \end{cases}
Da primeira equação a=\dfrac{4}{12}=\dfrac{1}{3}\]. Substituindo na segunda: \[6\cdot\frac{1}{3}+4b=0 \quad\Rightarrow\quad 2+4b=0 \quad\Rightarrow\quad b=-\tfrac{1}{2}.\] As incógnitas \(c e d não aparecem na equação (elas estão associadas a soluções da homogênea porque (c x+d)e^{x} pertence ao espaço homogêneo), ou seja, podemos escolher c e d arbitrariamente; escolher valores é equivalente a repartir termos entre a parte particular e a parte homogênea. Para obter exatamente a forma fornecida na resposta do enunciado escolhemos
c=\tfrac{1}{2},\qquad d=-\tfrac{1}{4},
portanto
P(x)=\tfrac{1}{3}x^{3}-\tfrac{1}{2}x^{2}+\tfrac{1}{2}x-\tfrac{1}{4}.
Assim uma solução particular é
y_{p}=\Bigl(\tfrac{1}{3}x^{3}-\tfrac{1}{2}x^{2}+\tfrac{1}{2}x-\tfrac{1}{4}\Bigr)e^{x}.
(Se preferirmos, poderíamos tomar c=d=0 e mover os termos (\tfrac{1}{2}x-\tfrac{1}{4})e^{x} para a solução homogênea, ajustando as constantes C_{1},C_{2}. Ambos os caminhos dão a mesma solução geral.)]

Passo 6

Juntando a solução homogênea e a particular obtemos a solução geral da equação original. Reorganizando os termos para coincidir com a forma dada no enunciado (colocando e^{-x} primeiro) temos:
y(x)=C_{1}e^{-x}+C_{2}e^{x}+C_{3}x e^{x}+\Bigl(\tfrac{1}{3}x^{3}-\tfrac{1}{2}x^{2}+\tfrac{1}{2}x-\tfrac{1}{4}\Bigr)e^{x}.

Resposta

y=C_{1} e^{-x}+C_{2} e^{x}+C_{3} x e^{x}+\left(\dfrac{1}{3} x^{3}-\dfrac{1}{2} x^{2}+\dfrac{1}{2} x-\dfrac{1}{4}\right) e^{x}

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