Métodos dos coeficientes a determinar
y^{\prime \prime \prime}+y^{\prime \prime}-2 y=x^{2}+10 \cos 2 x
Resp.: y=C_{1} e^{x}+C_{2} e^{-x} \cos x+C_{3} e^{-x} \sin x-\frac{1}{2}-\frac{1}{2} x^{2}-\frac{3}{5} \cos 2 x-\frac{4}{5} \sin 2 x

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial linear de ordem três com coeficientes constantes
y^{\prime\prime\prime}+y^{\prime\prime}-2y = x^{2}+10\cos 2x.
O que se pede é a solução geral y(x) desta equação (isto é, a solução da homogênea mais uma solução particular). Informações relevantes: o termo do lado direito é a soma de um polinômio x^{2} e de uma função trigonométrica 10\cos 2x. Não há outras informações (condições iniciais) — portanto vamos encontrar a solução geral com constantes arbitrárias.

Passo 2

Primeiro resolvemos a equação homogênea associada:
y^{\prime\prime\prime}+y^{\prime\prime}-2y=0.
Procuramos soluções da forma y=e^{rx}. Substituindo obtemos o polinômio característico
r^{3}+r^{2}-2=0.
Testando r=1 temos 1+1-2=0, logo r=1 é raiz. Fazemos então a divisão polinomial por (r-1) e obtemos o fator restante
r^{3}+r^{2}-2=(r-1)(r^{2}+2r+2).
As raízes do quadrático r^{2}+2r+2=0 são
r = -1 \pm i.
Portanto as raízes do característico são r_{1}=1 e r_{2,3}=-1\pm i. A solução geral da homogênea é, escrevendo as partes reais para as raízes complexas,
y_{h}(x)=C_{1}e^{x}+e^{-x}\big(C_{2}\cos x + C_{3}\sin x\big),
onde C_{1},C_{2},C_{3} são constantes arbitrárias. (Explicação curta: cada par de raízes complexas \alpha\pm i\beta gera a combinação real e^{\alpha x}(A\cos\beta x + B\sin\beta x).)

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular y_{p} da equação não-homogênea. Pela linearidade, é conveniente escrever
y_{p}=y_{p1}+y_{p2},
onde y_{p1} é particular para o termo polinomial x^{2} e y_{p2} é particular para 10\cos 2x.
Regra do método dos coeficientes a determinar (em palavras simples): escolhemos uma forma para y_{p} que replique o tipo do lado direito (polinômio, exponencial, seno/cosseno multiplicados por polinômios, etc.), com coeficientes desconhecidos, derivamos e igualamos coeficientes para resolver esses desconhecidos. Antes de escolher a forma devemos verificar se alguma parte da tentativa coincide com a solução da homogênea (ressonância); se coincidir, multiplicamos a tentativa por uma potência de x suficiente. Aqui a solução homogênea é composta por exponenciais e^{x} e e^{-x}\cos x, e^{-x}\sin x, não há termos polinomiais puros nem \cos 2x,\sin 2x vindos da homogênea, portanto não há ressonância com x^{2} nem com \cos 2x. Assim usamos as formas padrão.

Passo 4

Parte polinomial: escolhemos a tentativa
y_{p1}=Ax^{2}+Bx+C,
com A,B,C constantes a determinar. Calculamos as derivadas:
y_{p1}^{\prime}=2Ax+B,
y_{p1}^{\prime\prime}=2A,
y_{p1}^{\prime\prime\prime}=0.
Substituindo na equação à esquerda:
y_{p1}^{\prime\prime\prime}+y_{p1}^{\prime\prime}-2y_{p1}=0 + 2A -2(Ax^{2}+Bx+C).
Simplificando:
y_{p1}^{\prime\prime\prime}+y_{p1}^{\prime\prime}-2y_{p1} = -2A x^{2} -2B x + (2A-2C).
Esse resultado deve igualar ao termo polinomial do lado direito, que é x^{2}. Assim igualamos coeficientes dos monômios x^{2},x^{1},x^{0}:
  • Para x^{2}: -2A = 1 \Rightarrow A = -\tfrac{1}{2}.
  • Para x^{1}: -2B = 0 \Rightarrow B = 0.
  • Para constante: 2A-2C = 0 \Rightarrow C = A = -\tfrac{1}{2}.
Portanto
y_{p1} = -\tfrac{1}{2}x^{2} -\tfrac{1}{2}.
(Interpretação prática: a segunda derivada de um quadrático é constante; a terceira derivada some, e o restante ajusta os coeficientes para produzir x^{2}.)

Passo 5

Parte trigonométrica: buscamos y_{p2} tal que gere 10\cos 2x. A tentativa padrão é
y_{p2}=a\cos 2x + b\sin 2x,
com a,b desconhecidos. Calculamos as derivadas:
y_{p2}^{\prime} = -2a\sin 2x + 2b\cos 2x,
y_{p2}^{\prime\prime} = -4a\cos 2x -4b\sin 2x,
y_{p2}^{\prime\prime\prime} = 8a\sin 2x -8b\cos 2x.
Agora formamos a combinação da equação:
y_{p2}^{\prime\prime\prime}+y_{p2}^{\prime\prime}-2y_{p2}.
Substituindo as expressões:
(8a\sin 2x -8b\cos 2x) + (-4a\cos 2x -4b\sin 2x) -2(a\cos 2x + b\sin 2x).
Agrupando termos em \cos 2x e \sin 2x obtemos
\big(-6a -8b\big)\cos 2x + \big(8a -6b\big)\sin 2x.
Esse resultado deve ser igual ao termo trigonométrico do lado direito, 10\cos 2x + 0\sin 2x. Igualando coeficientes:
-6a -8b = 10,
8a -6b = 0.
Resolvendo o sistema: da segunda equação 8a = 6b então a=\tfrac{3}{4}b. Substituindo na primeira:
-6\left(\tfrac{3}{4}b\right)-8b = 10 \Rightarrow -\tfrac{18}{4}b - \tfrac{32}{4}b = 10 \Rightarrow -\tfrac{50}{4}b = 10.
Logo
b = 10\cdot\left(-\tfrac{4}{50}\right) = -\tfrac{4}{5}.
E então
a = \tfrac{3}{4}b = \tfrac{3}{4}\left(-\tfrac{4}{5}\right) = -\tfrac{3}{5}.
Portanto
y_{p2} = -\tfrac{3}{5}\cos 2x - \tfrac{4}{5}\sin 2x.

Passo 6

A solução particular total é
y_{p} = y_{p1}+y_{p2} = -\tfrac{1}{2}x^{2} -\tfrac{1}{2} -\tfrac{3}{5}\cos 2x - \tfrac{4}{5}\sin 2x.
Somando com a solução homogênea obtemos a solução geral:
y(x)=C_{1}e^{x}+e^{-x}\big(C_{2}\cos x + C_{3}\sin x\big) -\tfrac{1}{2}x^{2} -\tfrac{1}{2} -\tfrac{3}{5}\cos 2x - \tfrac{4}{5}\sin 2x.
Comentário final curto e motivador: o método dos coeficientes a determinar funciona bem quando o lado direito é combinação de polinômios, exponenciais e senos/cossenos — a ideia é “chutar” uma forma parecida e ajustar os coeficientes. Se a forma chutada aparecer na solução homogênea, multiplica-se por x^{m} para remover a ressonância. Tu já está chegando lá!

Resposta

y=C_{1} e^{x}+C_{2} e^{-x} \cos x+C_{3} e^{-x} \sin x-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2} x^{2}-\dfrac{3}{5} \cos 2 x-\dfrac{4}{5} \sin 2 x

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