Métodos dos coeficientes a determinar
Resp.:
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial linear de ordem três com coeficientes constantes
O que se pede é a solução geral
desta equação (isto é, a solução da homogênea mais uma solução particular). Informações relevantes: o termo do lado direito é a soma de um polinômio
e de uma função trigonométrica
. Não há outras informações (condições iniciais) — portanto vamos encontrar a solução geral com constantes arbitrárias.
Passo 2
Primeiro resolvemos a equação homogênea associada:
Procuramos soluções da forma
. Substituindo obtemos o polinômio característico
Testando
temos
, logo
é raiz. Fazemos então a divisão polinomial por
e obtemos o fator restante
As raízes do quadrático
são
Portanto as raízes do característico são
e
. A solução geral da homogênea é, escrevendo as partes reais para as raízes complexas,
onde
são constantes arbitrárias. (Explicação curta: cada par de raízes complexas
gera a combinação real
.)
Passo 3
Agora buscamos uma solução particular
da equação não-homogênea. Pela linearidade, é conveniente escrever
onde
é particular para o termo polinomial
e
é particular para
.
Regra do método dos coeficientes a determinar (em palavras simples): escolhemos uma forma para
que replique o tipo do lado direito (polinômio, exponencial, seno/cosseno multiplicados por polinômios, etc.), com coeficientes desconhecidos, derivamos e igualamos coeficientes para resolver esses desconhecidos. Antes de escolher a forma devemos verificar se alguma parte da tentativa coincide com a solução da homogênea (ressonância); se coincidir, multiplicamos a tentativa por uma potência de
suficiente. Aqui a solução homogênea é composta por exponenciais
e
, não há termos polinomiais puros nem
vindos da homogênea, portanto não há ressonância com
nem com
. Assim usamos as formas padrão.
Passo 4
Parte polinomial: escolhemos a tentativa
com
constantes a determinar. Calculamos as derivadas:
Substituindo na equação à esquerda:
Simplificando:
Esse resultado deve igualar ao termo polinomial do lado direito, que é
. Assim igualamos coeficientes dos monômios
:
- Para
: - Para
: - Para constante:
Portanto
(Interpretação prática: a segunda derivada de um quadrático é constante; a terceira derivada some, e o restante ajusta os coeficientes para produzir
.)
Passo 5
Parte trigonométrica: buscamos
tal que gere
. A tentativa padrão é
com
desconhecidos. Calculamos as derivadas:
Agora formamos a combinação da equação:
Substituindo as expressões:
Agrupando termos em
e
obtemos
Esse resultado deve ser igual ao termo trigonométrico do lado direito,
. Igualando coeficientes:
Resolvendo o sistema: da segunda equação
então
. Substituindo na primeira:
Logo
E então
Portanto
Passo 6
A solução particular total é
Somando com a solução homogênea obtemos a solução geral:
Comentário final curto e motivador: o método dos coeficientes a determinar funciona bem quando o lado direito é combinação de polinômios, exponenciais e senos/cossenos — a ideia é “chutar” uma forma parecida e ajustar os coeficientes. Se a forma chutada aparecer na solução homogênea, multiplica-se por
para remover a ressonância. Tu já está chegando lá!