Métodos da variação dos parâmetros
y^{\prime \prime \prime}-7 y^{\prime}+6 y=2 \sin x
Resp.: y=C_{1} e^{x}+C_{2} e^{2 x}+C_{3} e^{-3 x}+\frac{1}{25}(4 \cos x+3 \sin x)

Passo 1

O problema dá a equação diferencial de terceira ordem
y^{\prime\prime\prime}-7y^{\prime}+6y=2\sin x
e pede a solução geral y(x). As informações relevantes são:
  • É uma EDO linear de ordem 3 com coeficientes constantes.
  • O termo não-homogêneo é 2\sin x.
  • Devemos encontrar a solução geral, isto é, a soma da solução geral da homogênea e de uma solução particular da não-homogênea.

Passo 2

Primeiro resolvemos a equação homogênea associada:
y^{\prime\prime\prime}-7y^{\prime}+6y=0.
Usamos a substituição padrão y=e^{rx}, que leva ao polinômio característico
r^{3}-7r+6=0.
Testando raízes inteiras, temos r=1 porque 1-7+6=0. Fazendo divisão polinomial ou fatorando, obtemos
r^{3}-7r+6=(r-1)(r-2)(r+3).
Portanto as raízes são r=1,\,2,\,-3. As soluções fundamentais da homogênea são
y_1(x)=e^{x},\qquad y_2(x)=e^{2x},\qquad y_3(x)=e^{-3x}.
Assim a solução geral da homogênea é
y_h(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{2x}+C_{3}e^{-3x},
onde C_{1},C_{2},C_{3} são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular y_p\). Vamos usar a técnica de variação das constantes: procuramos \[y_p(x)=u_{1}(x)e^{x}+u_{2}(x)e^{2x}+u_{3}(x)e^{-3x},
onde u_{1},u_{2},u_{3} são funções a determinar. Para simplificar as derivadas escolhemos as condições (padrão para ordem 3)
\begin{cases} u_{1}'(x)e^{x}+u_{2}'(x)e^{2x}+u_{3}'(x)e^{-3x}=0,\\[4pt] u_{1}'(x)e^{x}+2u_{2}'(x)e^{2x}-3u_{3}'(x)e^{-3x}=0,\\[4pt] u_{1}'(x)e^{x}+4u_{2}'(x)e^{2x}+9u_{3}'(x)e^{-3x}=2\sin x. \end{cases}
Explicação rápida do porquê: as duas primeiras condições anexam as contribuições das primeiras duas derivadas vindas das u_i'\], deixando a terceira derivada igualar-se ao termo não-homogêneo dividido pelo coeficiente do maior termo (aqui 1). O lado direito da terceira equação é o termo não-homogêneo \(2\sin x.]

Passo 4

Resolvemos o sistema para u_{1}',u_{2}',u_{3}'. Escrevendo as três equações novamente:
\begin{aligned} & e^{x}u_{1}'+e^{2x}u_{2}'+e^{-3x}u_{3}'=0,\\[4pt] & e^{x}u_{1}'+2e^{2x}u_{2}'-3e^{-3x}u_{3}'=0,\\[4pt] & e^{x}u_{1}'+4e^{2x}u_{2}'+9e^{-3x}u_{3}'=2\sin x. \end{aligned}
Subtraindo a primeira equação da segunda obtemos
e^{2x}u_{2}'-4e^{-3x}u_{3}'=0
ou
u_{2}'=4e^{-5x}u_{3}'.\tag{A}
Subtraindo a segunda da terceira obtemos
2e^{2x}u_{2}'+12e^{-3x}u_{3}'=2\sin x.
Agora substituímos (A) nesta última:
2e^{2x}\big(4e^{-5x}u_{3}'\big)+12e^{-3x}u_{3}'=2\sin x.
Calculando os factores:
8e^{-3x}u_{3}'+12e^{-3x}u_{3}'=20e^{-3x}u_{3}'=2\sin x.
Logo
u_{3}'=\frac{2\sin x}{20}e^{3x}=\frac{1}{10}e^{3x}\sin x.
Usando (A),
u_{2}'=4e^{-5x}\cdot\frac{1}{10}e^{3x}\sin x=\frac{2}{5}e^{-2x}\sin x.
Por fim usamos a primeira equação para u_{1}':
e^{x}u_{1}' + e^{2x}u_{2}'+ e^{-3x}u_{3}'=0,
então
u_{1}'=-e^{-x}\big(e^{2x}u_{2}'+e^{-3x}u_{3}'\big).
Calculamos os termos:
e^{x}u_{2}'=e^{x}\cdot\frac{2}{5}e^{-2x}\sin x=\frac{2}{5}e^{-x}\sin x,
e^{-4x}u_{3}'=e^{-4x}\cdot\frac{1}{10}e^{3x}\sin x=\frac{1}{10}e^{-x}\sin x.
Somando e multiplicando por -1:
u_{1}'=-\Big(\frac{2}{5}+\frac{1}{10}\Big)e^{-x}\sin x=-\frac{1}{2}e^{-x}\sin x.
Resumo das derivadas:
u_{1}'(x)=-\tfrac{1}{2}e^{-x}\sin x,\qquad u_{2}'(x)=\tfrac{2}{5}e^{-2x}\sin x,\qquad u_{3}'(x)=\tfrac{1}{10}e^{3x}\sin x.]

Passo 5

Integramos cada uma para obter u_i(x). Para integrar aparecem integrais do tipo \int e^{ax}\sin x\,dx. Usamos a fórmula padrão
\int e^{ax}\sin(bx)\,dx=\frac{e^{ax}}{a^{2}+b^{2}}\big(a\sin(bx)-b\cos(bx)\big)+\text{const.}
Aplicando aos nossos casos (tomando as constantes de integração iguais a zero porque qualquer constante se incorpora aos C_i da solução homogênea):
Para u_{1}:
u_{1}=\int -\tfrac{1}{2}e^{-x}\sin x\,dx =-\tfrac{1}{2}\cdot\frac{e^{-x}}{2}\big(-\sin x-\cos x\big) =\tfrac{1}{4}e^{-x}(\sin x+\cos x).
Para u_{2}:
u_{2}=\int \tfrac{2}{5}e^{-2x}\sin x\,dx =\tfrac{2}{5}\cdot\frac{e^{-2x}}{5}\big(-2\sin x-\cos x\big) =\frac{2}{25}e^{-2x}\big(-2\sin x-\cos x\big).
Para u_{3}:
u_{3}=\int \tfrac{1}{10}e^{3x}\sin x\,dx =\tfrac{1}{10}\cdot\frac{e^{3x}}{10}\big(3\sin x-\cos x\big) =\frac{1}{100}e^{3x}\big(3\sin x-\cos x\big).

Passo 6

Construímos y_p por y_p=u_{1}e^{x}+u_{2}e^{2x}+u_{3}e^{-3x}.
Calcule cada termo:
u_{1}e^{x}=\tfrac{1}{4}(\sin x+\cos x),
u_{2}e^{2x}=\frac{2}{25}e^{-2x}(-2\sin x-\cos x)\,e^{2x}=-\tfrac{4}{25}\sin x-\tfrac{2}{25}\cos x,
u_{3}e^{-3x}=\frac{1}{100}e^{3x}(3\sin x-\cos x)\,e^{-3x}=\tfrac{3}{100}\sin x-\tfrac{1}{100}\cos x.
Somando os três termos, agrupando \sin x e \cos x:
coeficiente de \sin x:
\tfrac{1}{4}-\tfrac{4}{25}+\tfrac{3}{100}=\tfrac{25-16+3}{100}=\tfrac{12}{100}=\tfrac{3}{25},
coeficiente de \cos x:
\tfrac{1}{4}-\tfrac{2}{25}-\tfrac{1}{100}=\tfrac{25-8-1}{100}=\tfrac{16}{100}=\tfrac{4}{25}.
Portanto
y_p(x)=\tfrac{3}{25}\sin x+\tfrac{4}{25}\cos x=\frac{1}{25}\big(4\cos x+3\sin x\big).

Passo 7

A solução geral da EDO é a soma da homogênea com a particular:
y(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{2x}+C_{3}e^{-3x}+\frac{1}{25}\big(4\cos x+3\sin x\big).

Resposta

y=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{2x}+C_{3}e^{-3x}+\dfrac{1}{25}\big(4\cos x+3\sin x\big)

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