onde C_{1},C_{2},C_{3} são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora buscamos uma solução particular y_p\). Vamos usar a técnica de variação das constantes: procuramos
\[y_p(x)=u_{1}(x)e^{x}+u_{2}(x)e^{2x}+u_{3}(x)e^{-3x},
onde u_{1},u_{2},u_{3} são funções a determinar. Para simplificar as derivadas escolhemos as condições (padrão para ordem 3)
Explicação rápida do porquê: as duas primeiras condições anexam as contribuições das primeiras duas derivadas vindas das u_i'\], deixando a terceira derivada igualar-se ao termo não-homogêneo dividido pelo coeficiente do maior termo (aqui 1). O lado direito da terceira equação é o termo não-homogêneo \(2\sin x.]
Passo 4
Resolvemos o sistema para u_{1}',u_{2}',u_{3}'. Escrevendo as três equações novamente: