Métrica. (a) Mostre que o elemento de arco, (d s)^2=d r cdot d r, pode ser escrito como (restrito ao caso 3D),
(d s)^2=summu, nu gmu nu d qmu d qnu=g11 d q1+g22 d q2+g33 d q3=h1^2 d q1+h2^2 d q2+h3^2 d q3,
em que gmu nu são chamados de elementos da métrica (ou do tensor de métrica) e (q1, q2, q3) formam um sistema de coordenadas.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para mostrar que, em 3D, o elemento de arco
ds^2 = d rcdot d r
pode ser escrito como
ds^2=summu,nugmunu,dqmu,dqnu
e, no caso de coordenadas ortogonais, tomarmos
g11=h1^2,;g22=h2^2,;g33=h3^2,
Conteúdo: tensor métrico, mudança de coordenadas e produto escalar de vetores.
O que precisamos:
1. Saber que a posição r é função de (q1,q2,q3).
2. Escrever d r em termos de partial r/partial qi e dqi.
3. Usar o produto escalar para achar ds^2.

Passo 2

Primeiro, note que em qualquer sistema de coordenadas curvilíneas a posição é
r= r(q1,q2,q3),
Então o diferencial é
d r=sumi=1^3partial rpartial qi,dqi,
Isso vem da regra da cadeia: pequenas mudanças em qi mudam r nessa direção.

Passo 3

Agora fazemos o produto escalar:
$$ds^2=d\mathbf r\cdot d\mathbf r
=\Bigl(\sum_i\frac{\partial\mathbf r}{\partial q_i}dq_i\Bigr)!\cdot!\Bigl(\sum_j\frac{\partial\mathbf r}{\partial q_j}dq_j\Bigr),. ds^2=d rcdot d r =l(sumipartial rpartial qidqir)!cdot!l(sumjpartial rpartial qjdqjr), ds^2=\sum_{i,j}\Bigl(\frac{\partial\mathbf r}{\partial q_i}\cdot\frac{\partial\mathbf r}{\partial q_j}\Bigr),dq_i,dq_j,. $$

Passo 4

Definimos então os elementos da métrica
gij=partial rpartial qicdotpartial rpartial qj,
Logo a forma quadrática fica exatamente
boxedds^2=sumi,j=1^3gij,dqi,dqj,

Passo 5

No caso comum de coordenadas ortogonais, cada vetor base é perpendicular aos demais:
partial rpartial qicdotpartial rpartial qj=0(ineq j),
Isto torna a métrica diagonal, ou seja
gij=0;(ineq j), gii=llVertpartial rpartial qirrVert^2equiv hi^2,
Em outras palavras, cada hi é o fator de escala da coordenada qi.

Resposta

$$\boxed{ds^2=\sum_{\mu,\nu}g_{\mu\nu},dq_\mu,dq_\nu
\quadcom\quad g_{ij}=\frac{\partial\mathbf r}{\partial q_i}!\cdot!\frac{\partial\mathbf r}{\partial q_j},} boxedds^2=summu,nugmunu,dqmu,dqnu com gij=partial rpartial qi!cdot!partial rpartial qj,\boxed{ds2=h_12,dq_12+h_22,dq_22+h_32,dq_3^2,.}$$

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