Métrica. (a) Mostre que o elemento de arco, , pode ser escrito como (restrito ao caso 3D),
em que são chamados de elementos da métrica (ou do tensor de métrica) e formam um sistema de coordenadas.
Passo 1
Beleza, o enunciado pede para mostrar que, em 3D, o elemento de arco
pode ser escrito como
e, no caso de coordenadas ortogonais, tomarmos
Conteúdo: tensor métrico, mudança de coordenadas e produto escalar de vetores.
O que precisamos:
1. Saber que a posição é função de .
2. Escrever em termos de e .
3. Usar o produto escalar para achar .
Passo 2
Primeiro, note que em qualquer sistema de coordenadas curvilíneas a posição é
Então o diferencial é
Isso vem da regra da cadeia: pequenas mudanças em mudam nessa direção.