a) Utilize a série de potências da função h(x)=11-x,|x|<1, para determinar uma representação em série de potências para g(t)=44+t, encontrando o raio de convergência: b) Determine uma série de potências para f(x)=ln (4+x) seu raio de convergência.

Passo 1

O enunciado pede representações em séries de potências de g(t)=44+t e de f(x)=ln(4+x). Vamos usar a série geométrica
11 - x = sumn=0^infty x^n, |x|<1,
e a expansão logarítmica
ln(1+u) = sumn=1^infty (-1)^n-1u^nn, |u|<1
Com isso, expressaremos cada função em torno de zero e encontraremos seus raios de convergência.

Passo 2

Para g(t) escrevemos
g(t)=44+t =11+t4 =11-(-tfract4)
Aplicando a série geométrica com x=-tfract4, obtemos
g(t)=sumn=0^inftyl(-tfract4r)^n =sumn=0^infty(-1)^nt^n4^n

Passo 3

O raio de convergência vem da condição
l|-tfract4r|<1 Longrightarrow |t|<4
Logo, Rg=4.

Passo 4

Para f(x)=ln(4+x) usamos
f(x)=ln4+lnl(1+tfracx4r)
Na expansão logarítmica tomamos u=tfracx4 e obtemos
lnl(1+tfracx4r) =sumn=1^infty(-1)^n-11nl(tfracx4r)^n =sumn=1^infty(-1)^n-1x^nn,4^n
Portanto
f(x)=ln4+sumn=1^infty(-1)^n-1x^nn,4^n

Passo 5

O raio de convergência advém de
l|tfracx4r|<1 Longrightarrow |x|<4
Assim, Rf=4.

Resposta

a) g(t)=sumn=0^infty(-1)^nt^n4^n, R=4
b) f(x)=ln4+sumn=1^infty(-1)^n-1x^nn,4^n, R=4

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