Utilizando Transformada de Laplace Resolva:
Para um circuito em série contendo apenas um resistor e um indutor, a segunda lei de Kirchhoff estabelece que a soma das quedas de voltagem no indutor L x di/dt no resistor iR é igual à voltagem aplicada no circuito E(t), portanto Lx di/dt +i R=E(t).
Uma bateria de 12 Volts é conectada a um circuito em série no qual a indutância é L=1 / 2 henry (H) e a resistência é de R =10 ohms. A corrente 2 i(t) em ampéres(A) se a corrente inicial for zero é:
d) i(t)=5 / 6-5 / 6 x e^wed>=-20 t

Passo 1

O enunciado pede para resolver, por transformada de Laplace, a equação diferencial que descreve um circuito em série com indutor e resistor: Ldidt+Ri=E(t). Aqui temos L=tfrac12 H, R=10 Ω, E(t)=12 V e condição inicial i(0)=0. Vamos usar Laplace para achar i(t).

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em ambos os lados da equação. Usando Ldidt=sI(s)-i(0) e Li(t)=I(s), obtemos:
tfrac12l(sI(s)-i(0)r)+10I(s)=12s
Substituindo i(0)=0 resulta em
l(tfrac12s+10r)I(s)=12s

Passo 3

Isolamos I(s):
I(s)=12/stfrac12s+10=12sl(tfrac12s+10r)
Simplificando tfrac12s+10=tfracs+202
I(s)=12cdot2s(s+20)=24s(s+20)

Passo 4

Fazemos frações parciais em I(s)=24s(s+20)=As+Bs+20. Igualando numeradores:
A(s+20)+Bs=24implies(A+B)s+20A=24
Daí A+B=0 e 20A=24 levam a A=tfrac65,,B=-tfrac65. Então
I(s)=6/5s-6/5s+20

Passo 5

Aplicando a transformada inversa, L^-11/s=1 e L^-11/(s+20)=e^-20t, obtemos
i(t)=65l(1-e^-20tr)

Resposta

i(t)=dfrac65l(1-e^-20tr)

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