Questão 3 Use a regra da cadeia para calcular dz/dt.
z=x^{2} \ln y ; x=3 / t, y=e^{t}

Passo 1

O enunciado dá a função dependente de duas variáveis e as funções dessas variáveis em termos de t. O que precisamos:
  • Dados:
    • z = x^{2}\ln y
    • x=\dfrac{3}{t}
    • y=e^{t}
  • Pedido: calcular \dfrac{dz}{dt}.

Passo 2

Regra da cadeia para funções de várias variáveis (fórmula que vamos usar).
Se z=z(x,y) e x=x(t),\,y=y(t), então
\frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial x}\,\frac{dx}{dt}+\frac{\partial z}{\partial y}\,\frac{dy}{dt}.
Aqui \partial z/\partial x é a derivada parcial de z em relação a x (tratando y como constante) e \partial z/\partial y é a derivada parcial em relação a y (tratando x como constante). A ideia é somar as contribuições de como z muda quando x muda e quando y muda.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais de z(x,y)=x^{2}\ln y.
  • Para \partial z/\partial x: tratamos \ln y como constante (pois é função só de y):
    \frac{\partial z}{\partial x}=2x\ln y.
  • Para \partial z/\partial y: tratamos x^{2} como constante e derivamos \ln y em relação a y (que é 1/y):
    \frac{\partial z}{\partial y}=x^{2}\cdot\frac{1}{y}=\frac{x^{2}}{y}.

Passo 4

Calcular dx/dt e dy/dt a partir das fórmulas dadas.
  • x=\dfrac{3}{t}=3t^{-1}. Derivando,
    \frac{dx}{dt}=-3t^{-2}=-\frac{3}{t^{2}}.
  • y=e^{t}. Derivando,
    \frac{dy}{dt}=e^{t}=y.

Passo 5

Substituir tudo na regra da cadeia:
\frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{dy}{dt} = (2x\ln y)\left(-\frac{3}{t^{2}}\right)+\left(\frac{x^{2}}{y}\right)(y).
Simplificar o segundo termo \left(\dfrac{x^{2}}{y}\right)(y)=x^{2}. Agora substituímos x=\dfrac{3}{t} e \ln y=\ln(e^{t})=t:
\frac{dz}{dt}=2\left(\frac{3}{t}\right)\cdot t\cdot\left(-\frac{3}{t^{2}}\right)+\left(\frac{3}{t}\right)^{2}.
Calcular passo a passo:
  • 2\left(\dfrac{3}{t}\right)\cdot t = 2\cdot 3 = 6.
  • Primeiro termo: 6\cdot\left(-\dfrac{3}{t^{2}}\right) = -\dfrac{18}{t^{2}}.
  • Segundo termo: \left(\dfrac{3}{t}\right)^{2}=\dfrac{9}{t^{2}}.
    Somando:
\frac{dz}{dt}=-\frac{18}{t^{2}}+\frac{9}{t^{2}}=-\frac{9}{t^{2}}.

Passo 6

Observação final (útil na prova): a expressão só é válida quando t\neq 0 porque x=3/t não está definida em t=0. Fora isso, resultado simples e limpo.

Resposta

-\dfrac{9}{t^{2}}

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