Questão 3 Use a regra da cadeia para calcular dz/dt.
Passo 1
O enunciado dá a função dependente de duas variáveis e as funções dessas variáveis em termos de
. O que precisamos:
- Dados:
-
- Pedido: calcular
.
Passo 2
Regra da cadeia para funções de várias variáveis (fórmula que vamos usar).
Se e
, então
Se
Aqui
é a derivada parcial de
em relação a
(tratando
como constante) e
é a derivada parcial em relação a
(tratando
como constante). A ideia é somar as contribuições de como
muda quando
muda e quando
muda.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais de
.
-
Para
: tratamos como constante (pois é função só de ): -
Para
: tratamos como constante e derivamos em relação a (que é ):
Passo 4
Calcular
e
a partir das fórmulas dadas.
-
. Derivando, -
. Derivando,
Passo 5
Substituir tudo na regra da cadeia:
Simplificar o segundo termo
. Agora substituímos
e
:
Calcular passo a passo:
-
. - Primeiro termo:
. - Segundo termo:
.
Somando:
Passo 6
Observação final (útil na prova): a expressão só é válida quando
porque
não está definida em
. Fora isso, resultado simples e limpo.