Um oscilador amortecido, o bloco possui uma massa de 1,50 \mathrm{~kg} e a constante elástica é \mathrm{k}=8,00 \mathrm{~N} / \mathrm{m}. A forca de amortecimento é dada por -\mathrm{b}(\mathrm{dx} / \mathrm{dt}), cm que \mathrm{b}=230 \mathrm{~g} / \mathrm{s}. O bloco é puxado 12,0 \mathrm{~cm} para baixo e liberado.
1.5 Calcule a razào entre a amplitude das oscilações amortecidas e a amplitude inicial após 14,3 segundos.
1,5 Qual é a frequência angular do oscilador amortecido \mathrm{em} \mathrm{rad} / \mathrm{s} ?
[1,0](c) Qual é o período (T) de uma oscilação em segundos?

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede três coisas.
Dados (pegados do enunciado):
  • m=1,50\\ \mathrm{kg}.
  • k=8,00\\ \mathrm{N/m}.
  • coeficiente de amortecimento dado por b=230\\ \mathrm{g/s}.
  • amplitude inicial A_0=12,0\\ \mathrm{cm}.
  • tempo para avaliar a amplitude: t=14,3\\ \mathrm{s}.
O que o enunciado pede:
(a) a razão entre a amplitude das oscilações amortecidas e a amplitude inicial após 14,3\\ \mathrm{s}, ou seja \dfrac{A(t)}{A_0} em t=14,3\\ \mathrm{s};
(b) a frequência angular do oscilador amortecido (em \mathrm{rad/s});
(c) o período T de uma oscilação (em segundos).

Passo 2

Modelagem física e fórmulas que vamos usar (aula rápida e prática):
  • A equação do movimento para um oscilador massa-mola com amortecimento viscoso é
m\ddot{x}+b\dot{x}+kx=0.
Aqui m é a massa (kg), b é o coeficiente de amortecimento (kg/s), k é a constante elástica (N/m), x(t) é o deslocamento e pontos superiores indicam derivadas temporais.
  • Definimos o parâmetro de amortecimento
\beta=\dfrac{b}{2m},
que tem unidade de \mathrm{s}^{-1}. Ele aparece na solução e controla a taxa de decaimento da amplitude.
  • A frequência natural (não amortecida) é
\omega_0=\sqrt{\dfrac{k}{m}}.
  • Para o caso subamortecido (que ocorre quando b^2<4mk), a solução é oscilatória com amplitude decaindo exponencialmente. A frequência angular efetiva (drenada) é
\omega_{\mathrm{d}}=\sqrt{\omega_0^2-\beta^2}.
  • O envelope da amplitude decai como
A(t)=A_0 e^{-\beta t},
logo a razão pedida em (a) é
\dfrac{A(t)}{A_0}=e^{-\beta t}.
  • O período da oscilação amortecida é
T=\dfrac{2\pi}{\omega_{\mathrm{d}}}.
Antes de aplicar, converto unidades e explico cada passo para você conseguir repetir na prova.

Passo 3

Conversões e verificação de regime (subamortecido):
  • Converto b de gramas por segundo para kg por segundo:
b=230\\ \mathrm{g/s}=0,230\\ \mathrm{kg/s}.
  • Converto a amplitude inicial para metros:
A_0=12,0\\ \mathrm{cm}=0,120\\ \mathrm{m}.
  • Verifico se o sistema é subamortecido calculando b^2 e 4mk:
b^2=(0,230)^2=0,0529, \qquad 4mk=4\cdot1,50\cdot8,00=48,0.
Como b^2=0,0529 \ll 48,0, temos b^2<4mk e o sistema é claramente subamortecido. Isso confirma que podemos usar as fórmulas acima (solução oscilatória com decaimento exponencial).

Passo 4

Cálculo de \beta e razão de amplitudes em (a):
  • Calculo \beta:
\beta=\dfrac{b}{2m}=\dfrac{0,230}{2\cdot1,50}=\dfrac{0,230}{3,00}=0,076666\ldots\\ \mathrm{s}^{-1}.
É útil pensar que \beta=\dfrac{23}{300}\\ \mathrm{s}^{-1}\approx0,07667\\ \mathrm{s}^{-1}.
  • Calculo o produto \beta t em t=14,3\\ \mathrm{s}:
\beta t=0,076666\ldots\times14,3=1,096333\ldots
  • A razão entre amplitude amortecida em t e a inicial é
\dfrac{A(t)}{A_0}=e^{-\beta t}=e^{-1,096333\ldots}\approx0,334.
Interpretação rápida: após 14,3\\ \mathrm{s} a amplitude ficou cerca de 33{,}4\% da amplitude inicial.

Passo 5

Cálculo da frequência natural \omega_0 (etapa intermediária para (b)):
  • Calculo
\omega_0=\sqrt{\dfrac{k}{m}}=\sqrt{\dfrac{8,00}{1,50}}=\sqrt{5,333333\ldots}=2,309401\ldots\\ \mathrm{rad/s}.
Este é o valor que o sistema teria sem amortecimento.

Passo 6

Cálculo da frequência angular amortecida \omega_{\mathrm{d}} (responde (b)):
  • Calculo \beta^2 e \omega_0^2:
\beta^2=(0,076666\ldots)^2=0,00587778\ldots, \qquad \omega_0^2=\dfrac{k}{m}=5,333333\ldots
  • Então
\omega_{\mathrm{d}}=\sqrt{\omega_0^2-\beta^2}=\sqrt{5,333333\ldots-0,00587778\ldots} =\sqrt{5,3274556\ldots}=2,30855\ldots\\ \mathrm{rad/s}.
Arredondando de forma adequada: \omega_{\mathrm{d}}\approx2,309\\ \mathrm{rad/s} (vou apresentar com 4 casas decimais onde for útil: 2,3086\\ \mathrm{rad/s}).

Passo 7

Cálculo do período T (responde (c)):
  • Usa-se
T=\dfrac{2\pi}{\omega_{\mathrm{d}}}.
  • Substituindo o valor calculado:
T=\dfrac{2\pi}{2,30855\ldots}\approx2,72197\ldots\\ \mathrm{s}.
Arredondando: T\approx2,722\\ \mathrm{s}.

Resposta

(a) \dfrac{A(14,3\\ \mathrm{s})}{A_0}=e^{-0,076666\ldots\cdot14,3}\approx0,334\n
(b) \omega_{\mathrm{d}}=\sqrt{\dfrac{k}{m}-\left(\dfrac{b}{2m}\right)^{2}}\approx2,3086\\ \mathrm{rad/s}\n
(c) T=\dfrac{2\pi}{\omega_{\mathrm{d}}}\approx2,722\\ \mathrm{s}

Exercícios relacionados