Um oscilador amortecido, o bloco possui uma massa de
e a constante elástica é
. A forca de amortecimento é dada por
, cm que
. O bloco é puxado
para baixo e liberado.
1.5 Calcule a razào entre a amplitude das oscilações amortecidas e a amplitude inicial após 14,3 segundos.
1,5 Qual é a frequência angular do oscilador amortecido
?
[1,0](c) Qual é o período (T) de uma oscilação em segundos?
1.5 Calcule a razào entre a amplitude das oscilações amortecidas e a amplitude inicial após 14,3 segundos.
1,5 Qual é a frequência angular do oscilador amortecido
[1,0](c) Qual é o período (T) de uma oscilação em segundos?
Passo 1
O enunciado dá os seguintes dados e pede três coisas.
Dados (pegados do enunciado):
-
. -
. - coeficiente de amortecimento dado por
. - amplitude inicial
. - tempo para avaliar a amplitude:
.
O que o enunciado pede:
(a) a razão entre a amplitude das oscilações amortecidas e a amplitude inicial após , ou seja
em
;
(b) a frequência angular do oscilador amortecido (em );
(c) o período de uma oscilação (em segundos).
(a) a razão entre a amplitude das oscilações amortecidas e a amplitude inicial após
(b) a frequência angular do oscilador amortecido (em
(c) o período
Passo 2
Modelagem física e fórmulas que vamos usar (aula rápida e prática):
- A equação do movimento para um oscilador massa-mola com amortecimento viscoso é
Aqui
é a massa (kg),
é o coeficiente de amortecimento (kg/s),
é a constante elástica (N/m),
é o deslocamento e pontos superiores indicam derivadas temporais.
- Definimos o parâmetro de amortecimento
que tem unidade de
. Ele aparece na solução e controla a taxa de decaimento da amplitude.
- A frequência natural (não amortecida) é
- Para o caso subamortecido (que ocorre quando
), a solução é oscilatória com amplitude decaindo exponencialmente. A frequência angular efetiva (drenada) é
- O envelope da amplitude decai como
logo a razão pedida em (a) é
- O período da oscilação amortecida é
Antes de aplicar, converto unidades e explico cada passo para você conseguir repetir na prova.
Passo 3
Conversões e verificação de regime (subamortecido):
- Converto
de gramas por segundo para kg por segundo:
- Converto a amplitude inicial para metros:
- Verifico se o sistema é subamortecido calculando
e :
Como
, temos
e o sistema é claramente subamortecido. Isso confirma que podemos usar as fórmulas acima (solução oscilatória com decaimento exponencial).
Passo 4
Cálculo de
e razão de amplitudes em (a):
- Calculo
:
É útil pensar que
.
- Calculo o produto
em :
- A razão entre amplitude amortecida em
e a inicial é
Interpretação rápida: após
a amplitude ficou cerca de
da amplitude inicial.
Passo 5
Cálculo da frequência natural
(etapa intermediária para (b)):
- Calculo
Este é o valor que o sistema teria sem amortecimento.
Passo 6
Cálculo da frequência angular amortecida
(responde (b)):
- Calculo
e :
- Então
Arredondando de forma adequada:
(vou apresentar com 4 casas decimais onde for útil:
).
Passo 7
Cálculo do período
(responde (c)):
- Usa-se
- Substituindo o valor calculado:
Arredondando:
.
Resposta
(a)
\n
(b) \n
(c)
(b)
(c)