A mica sheet that is 1.20 \mu \mathrm{~m} thick is suspended in air. In reflected light, there are gaps in the visible spectrum at 421,474 , 542 , and 633 nm . Find the index of refraction of the mica sheet.

Passo 1

O enunciado dá claramente:
  • Espessura da lâmina de mica: t = 1,20\\ \mu\mathrm{m}.
  • No espectro refletido aparecem “gaps” (comprimentos de onda ausentes) em \lambda = 421\\ \mathrm{nm},\\\ 474\\ \mathrm{nm},\\\ 542\\ \mathrm{nm},\\\ 633\\ \mathrm{nm}.
    A pergunta é: determinar o índice de refração n da mica.
Observação importante (do enunciado): as “gaps” no espectro em luz refletida significam que nesses comprimentos de onda a intensidade refletida é mínima (interferência destrutiva). Essas informações acima são todas as que vamos usar.

Passo 2

Explicando a física que precisamos (passo-a-passo, sem pular etapas):
Quando um filme fino (mica) está suspenso no ar, a luz incidente é parcialmente refletida na face superior (ar → mica) e parcialmente na face inferior (mica → ar). Essas duas ondas refletidas se combinam por interferência. Três pontos chave:
  1. Caminho óptico extra percorrido pela onda refletida que atravessa o filme, chega ao fundo e sai é 2 n t. Esse valor é medido em comprimentos de onda dentro da mica.
  2. A reflexão em uma interface de meio de menor índice para maior índice (ar \to mica) produz uma mudança de fase de \pi (meia onda). A reflexão na interface maior \to menor (mica \to ar) não produz mudança de fase. Logo, entre as duas ondas refletidas há uma diferença de fase adicional fixa de \pi.
  3. A diferença total de fase entre as duas ondas refletidas é, portanto,
\Delta\varphi = 2\pi\frac{2 n t}{\lambda} + \pi.
Interferência destrutiva (mínimo no feixe refletido) ocorre quando as ondas estão fora de fase por um múltiplo ímpar de \pi, isto é,
\Delta\varphi = (2m+1)\pi,\quad m=0,1,2,\dots
Substituindo em \Delta\varphi obtemos:
2\pi\frac{2 n t}{\lambda} + \pi = (2m+1)\pi.
Cancelando \pi dos dois lados e simplificando:
2\frac{2 n t}{\lambda} + 1 = 2m+1 \quad\Rightarrow\quad 2 n t = m\lambda.
Portanto, para mínimos na luz refletida (gaps) vale a condição simples
\boxed{2 n t = m\lambda,\qquad m\in\mathbb{Z}.}
Isto significa que, para cada comprimento de onda \lambda que aparece como gap, existe um inteiro m tal que m = \dfrac{2 n t}{\lambda}.

Passo 3

Agora aplicamos os números do enunciado. Primeiro converto a espessura para a mesma unidade dos comprimentos de onda:
t = 1,20\\ \mu\mathrm{m} = 1200\\ \mathrm{nm}.
Então
2 n t = 2 n (1200\\ \mathrm{nm}) = 2400\,n\\ \mathrm{nm}.
Pela condição dos mínimos, para cada \lambda_i dado existe um inteiro m_i tal que
m_i = \frac{2400\,n}{\lambda_i}.
Queremos encontrar n tal que esses quocientes sejam inteiros. Como os quatro comprimentos de onda fornecidos são gaps sucessivos no espectro visível, é razoável (e comum nesses problemas) assumir que correspondem a ordens consecutivas m, m-1, m-2, m-3. Vamos testar essa hipótese.
Calculo os produtos m\lambda para inteiros candidatos de forma a ver qual sequência torna os produtos aproximadamente iguais (pois idealmente todos os m_i\lambda_i devem ser iguais ao mesmo 2400\,n).
Testando a sequência decrescente m=9,8,7,6 (um palpite baseado no tamanho típico de m aqui):
9\times 421 = 3789, \qquad 8\times 474 = 3792,
7\times 542 = 3794, \qquad 6\times 633 = 3798.
Esses quatro números estão muito próximos entre si (todos perto de 3794), o que confirma que os comprimentos de onda podem ser associados às ordens m=9,8,7,6 respectivamente. Isso é consistente com a ideia de gaps consecutivos.

Passo 4

Com a sequência m=9,8,7,6 podemos calcular n a partir de cada par (m,\lambda) usando
n = \frac{m\lambda}{2400}.
Faço os cálculos um a um (mostrando as contas para ficar “mastigado”):
Para \lambda=421\\ \mathrm{nm} e m=9:
n_1 = \frac{9\times 421}{2400} = \frac{3789}{2400} = 1,57875.
Para \lambda=474\\ \mathrm{nm} e m=8:
n_2 = \frac{8\times 474}{2400} = \frac{3792}{2400} = 1,58.
Para \lambda=542\\ \mathrm{nm} e m=7:
n_3 = \frac{7\times 542}{2400} = \frac{3794}{2400} = 1,581\overline{6}.
Para \lambda=633\\ \mathrm{nm} e m=6:
n_4 = \frac{6\times 633}{2400} = \frac{3798}{2400} = 1,5825.
Os quatro valores são muito próximos; a pequena diferença é devido a arredondamentos/medidas discretas. Uma estimativa razoável do índice é a média desses valores:
n_{\text{média}} = \frac{1,57875+1,58+1,581\overline{6}+1,5825}{4} \approx 1,5805.é
Arredondando com um número sensato de algarismos significativos (os dados iniciais têm três algarismos significativos), damos n \approx 1,58.

Resposta

n = 1,58

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