A mica sheet that is
thick is suspended in air. In reflected light, there are gaps in the visible spectrum at 421,474 , 542 , and 633 nm . Find the index of refraction of the mica sheet.
Passo 1
O enunciado dá claramente:
- Espessura da lâmina de mica:
. - No espectro refletido aparecem “gaps” (comprimentos de onda ausentes) em
.
A pergunta é: determinar o índice de refraçãoda mica.
Observação importante (do enunciado): as “gaps” no espectro em luz refletida significam que nesses comprimentos de onda a intensidade refletida é mínima (interferência destrutiva). Essas informações acima são todas as que vamos usar.
Passo 2
Explicando a física que precisamos (passo-a-passo, sem pular etapas):
Quando um filme fino (mica) está suspenso no ar, a luz incidente é parcialmente refletida na face superior (ar → mica) e parcialmente na face inferior (mica → ar). Essas duas ondas refletidas se combinam por interferência. Três pontos chave:
-
Caminho óptico extra percorrido pela onda refletida que atravessa o filme, chega ao fundo e sai é
. Esse valor é medido em comprimentos de onda dentro da mica. -
A reflexão em uma interface de meio de menor índice para maior índice (ar
mica) produz uma mudança de fase de (meia onda). A reflexão na interface maior menor (mica ar) não produz mudança de fase. Logo, entre as duas ondas refletidas há uma diferença de fase adicional fixa de . -
A diferença total de fase entre as duas ondas refletidas é, portanto,
Interferência destrutiva (mínimo no feixe refletido) ocorre quando as ondas estão fora de fase por um múltiplo ímpar de
, isto é,
Substituindo em
obtemos:
Cancelando
dos dois lados e simplificando:
Portanto, para mínimos na luz refletida (gaps) vale a condição simples
Isto significa que, para cada comprimento de onda
que aparece como gap, existe um inteiro
tal que
.
Passo 3
Agora aplicamos os números do enunciado. Primeiro converto a espessura para a mesma unidade dos comprimentos de onda:
Então
Pela condição dos mínimos, para cada
dado existe um inteiro
tal que
Queremos encontrar
tal que esses quocientes sejam inteiros. Como os quatro comprimentos de onda fornecidos são gaps sucessivos no espectro visível, é razoável (e comum nesses problemas) assumir que correspondem a ordens consecutivas
. Vamos testar essa hipótese.
Calculo os produtos
para inteiros candidatos de forma a ver qual sequência torna os produtos aproximadamente iguais (pois idealmente todos os
devem ser iguais ao mesmo
).
Testando a sequência decrescente
(um palpite baseado no tamanho típico de
aqui):
Esses quatro números estão muito próximos entre si (todos perto de
), o que confirma que os comprimentos de onda podem ser associados às ordens
respectivamente. Isso é consistente com a ideia de gaps consecutivos.
Passo 4
Com a sequência
podemos calcular
a partir de cada par
usando
Faço os cálculos um a um (mostrando as contas para ficar “mastigado”):
Para
e
:
Para
e
:
Para
e
:
Para
e
:
Os quatro valores são muito próximos; a pequena diferença é devido a arredondamentos/medidas discretas. Uma estimativa razoável do índice é a média desses valores:
Arredondando com um número sensato de algarismos significativos (os dados iniciais têm três algarismos significativos), damos
.