A two-slit Fraunhofer interference-diffraction pattern is observed using light that has a wavelength equal to 500 nm . The slits have a separation of 0.100 mm and an unknown width. (a) Find the width if the fifth interference maximum is at the same angle as the first diffraction minimum. (b) For that case, how many bright interference fringes will be seen in the central diffraction maximum? ssm
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e faz estas perguntas:
Comprimento de onda: \lambda = 500\\ \text{nm}.
Separação entre as fendas: d = 0{,}100\\ \text{mm}.
Largura das fendas: a (incógnita).
Perguntas:
(a) Determinar a se a quinta máxima de interferência coincide com a primeira mínima de difração.
(b) Para esse caso, quantas franjas brilhantes de interferência serão vistas dentro do máximo central de difração?
Passo 2
Vamos recordar as fórmulas fundamentais (explicando o que significam):
Fórmula das máximas de interferência para duas fendas (condição de máximos brilhantes):
d\sin\theta = m\lambda,
onde d é a separação entre fendas, \theta é o ângulo medido a partir do centro, \lambda é o comprimento de onda, e m é o número inteiro do máximo de interferência (m=0,\pm1,\pm2,\dots). Essa fórmula vem da condição de que a diferença de caminho entre as ondas vindas das duas fendas seja um múltiplo inteiro de \lambda, gerando interferência construtiva.
Fórmula das mínimas de difração para uma única fenda (condição de mínimos da envoltória difrativa):
a\sin\theta = n\lambda,
onde a é a largura da fenda e n é o índice do mínimo de difração (n=1,2,\dots). Essa condição surge quando a distribuição de fases através da fenda causa cancelamento total na direção \theta.
Interpretação prática: a intensidade observada no padrão é o produto da estrutura de máximos finos (interferência entre fendas) multiplicada por uma envoltória mais larga (difração de cada fenda). Se um máximo de interferência cai exatamente onde a envoltória difrativa tem um mínimo, aquele máximo desaparece (intensidade zero).
Passo 3
Aplicamos as condições do enunciado: a quinta máxima de interferência (m=5) coincide com a primeira mínima de difração (n=1). Assim, para o mesmo ângulo \theta vale simultaneamente
d\sin\theta = 5\lambda
e
a\sin\theta = 1\lambda.
Eliminando \sin\theta entre as duas equações:
\frac{5\lambda}{d}=\frac{\lambda}{a}.
Cancelando \lambda (não nulo) e resolvendo para a:
a=\frac{d}{5}.
Agora fazemos as conversões e o cálculo numérico. Primeiro converter unidades para o SI:
que é bem menor que 1, então está fisicamente consistente.
Passo 4
Agora contamos quantas franjas brilhantes de interferência aparecem dentro do máximo central de difração.
O máximo central de difração estende-se entre os primeiros mínimos de difração em \pm\theta dados por a\sin\theta=\pm\lambda. Logo, dentro do máximo central os ângulos satisfazem| \sin\theta | \le \frac{\lambda}{a}.
As máximas de interferência ocorrem em ângulos que satisfazem d\sin\theta = m\lambda, ou seja \sin\theta = m\lambda/d. Para que um máximo de ordem m esteja dentro do máximo central devemos ter\left|\frac{m\lambda}{d}\right| \le \frac{\lambda}{a}.Cancelando \lambda obtemos a condição sobre m:|m| \le \frac{d}{a}.
No nosso caso já achamos a=d/5, portanto
\frac{d}{a}=5.
Isso significa que as ordens m aceitas satisfazem |m| \le 5, ou seja m=0,\pm1,\pm2,\pm3,\pm4,\pm5. Porém atenção: quando |m|=5 os máximos de interferência coincidem exatamente com os mínimos de difração (essa era a condição do item (a)), e nesses ângulos a envoltória de difração é nula, de modo que esses máximos são suprimidos (intensidade zero). Portanto os máximos observáveis (com intensidade não nula) dentro do máximo central são
m=0,\pm1,\pm2,\pm3,\pm4,
ou seja 1 + 2\cdot4 = 9 franjas brilhantes (a franja central mais 4 de cada lado).
Observação geral (fórmula rápida): se d/a não for inteiro, o número de franjas brilhantes no máximo central é 2\lfloor d/a\rfloor + 1. Se d/a for inteiro K, então as franjas de ordem \pm K caem exatamente nos mínimos e são suprimidas, dando 2K-1 franjas brilhantes. Aqui d/a=5 inteiro, logo 2\cdot5-1=9.
Resposta
(a) a = 2{,}00\times10^{-5}\\ \text{m} = 20{,}0\\ \mu\text{m}
(b) 9 franges brilhantes no máximo central